本論文は、モノイダル圏および二重圏の構造を、圏論的拡大と二重拡大、そしてそれらに伴うコホモロジーデータの観点から分析しています。
まず、モノイダル圏 E を、その対象の同型類がなす群 π0(E) の、Picard 圏 Σ(π1(E)) による圏論的拡大として捉えます。ここで、π1(E) は E のモノイダル単位元の自己同型群 AutE(I) を表します。
この拡大は、コホモロジー群 H2(π0(E), Σ(π1(E))) の要素、すなわち H3(π0(E), π1(E)) の要素に対応します。
次に、モノイダル二重圏に対しても同様の分析を行います。モノイダル二重圏 E に対して、その基本亜群 Π1(E) = AutE(I) が Picard 亜群となることを示し、E を π0(E) の Picard 亜群 A = AutE(I) による圏論的拡大として捉えます。
この拡大もまた、コホモロジー群 H3(π0(E), AutE(I)) の要素に対応します。
さらに、モノイダル圏や二重圏の対称性を分析するために、二重拡大の概念を導入します。モノイダル圏 E に対して、π1(E) が π0(E) × π0(E) の二重拡大を定めることを示し、その構造を詳しく調べます。
特に、E が対称モノイダル圏である場合、二重拡大の構造に新たなコサイクル条件が現れ、対称性を反映した構造を持つことがわかります。
本論文は、モノイダル圏や二重圏の構造、特に結合性や対称性を、圏論的拡大や二重拡大の概念を用いてコホモロジー的に分析することで、その構造を代数的に特徴付けることができることを示しています。
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