核心概念
代数幾何曲線上のGoppaコードは、ノイズの多い電力線通信チャネルでの高速データ伝送を可能にする。
要約
本論文では、代数幾何曲線に関連する一部の符号について研究している。ヘルミート符号の自己直交性から得られる量子安定化符号は必ずしも良いパラメータを持たないが、適切なパラメータを見つけることで、ヘルミート自己直交符号の量子安定化符号が良いパラメータを持つことが示された。そのため、特定の最大曲線上の量子安定化符号を調査し、そのパラメータを改善した。代数幾何符号は、ノイズの多い電力線通信チャネルでの高速データ伝送を可能にする有望な技術である。
まず、代数幾何符号の基本概念と、特定の最大曲線に関する予備的結果を紹介する。次に、曲線Xに基づくGoppaコードの量子安定化符号について説明する。
Goppaコードは、代数幾何曲線上の符号の一種である。曲線Xが多くの有理点を持つ場合、Goppaコードのパラメータが良くなる。この場合、最大曲線が重要な役割を果たす。すなわち、曲線の種数に対して可能な限り多くの有理点を持つ曲線である。
Goppaコードは、曲線Xの有理点の集合Dと、Xの任意の分割Gから構成される。Goppaコードの最小距離dは、n-deg(G)以上となる。ここで、nは有理点の数である。
本論文では、曲線Xに基づくGoppaコードの量子安定化符号を提案している。曲線Xが最大曲線の場合、得られる量子安定化符号のパラメータが良好であることが示された。具体的な例を通して、提案手法の有効性を確認している。
統計
曲線Xの有理点の数は、q+1+2g√q以下である。ここで、gは曲線Xの種数である。
曲線Xが最大曲線の場合、有理点の数は、ℓ+1+2g√qである。ここで、ℓは定数である。
Goppaコードの最小距離dは、n-deg(G)以上である。ここで、nは有理点の数、Gは曲線Xの任意の分割である。
引用
"代数幾何符号は、ノイズの多い電力線通信チャネルでの高速データ伝送を可能にする有望な技術である。"
"曲線Xが多くの有理点を持つ場合、Goppaコードのパラメータが良くなる。この場合、最大曲線が重要な役割を果たす。"
"Goppaコードの最小距離dは、n-deg(G)以上となる。ここで、nは有理点の数、Gは曲線Xの任意の分割である。"