この論文は、奇数位数の有限体上の特定の平面4項式族の分類について論じています。著者は、この4項式族が線形同値性のもとで既知の平面関数族に分類できることを示し、この族から新しい平面関数は得られないと結論付けています。
論文はまず、平面関数の背景と動機について説明し、暗号理論、符号理論、組み合わせ論におけるその重要性を強調しています。平面関数は、優れた差分均一性を持ち、ブロック暗号に対する強力な攻撃として知られる差分攻撃に対する耐性を提供するため、暗号化において特に重要です。
次に、論文では、奇数素数 $p$、正整数 $k$、$ℓ$、$q = p^k$、$Q = p^ℓ$ とし、$F_q^2$ を位数 $q^2$ の有限体としたとき、任意の $c = (c_0, c_1, c_2, c_3) \in F_{q^2}^4$ に対して、$F_{q^2}[X]$ における4項式 $f_c(X)$ を
$$f_c(X) = c_0X^{qQ+q} + c_1X^{qQ+1} + c_2X^{Q+q} + c_3X^{Q+1}$$
と定義しています。
論文の主結果は、この4項式 $f_c(X)$ が $F_{q^2}$ 上で平面であるための必要十分条件は、それが以下に示す多項式のいずれかに線形同値であることであると述べています。
さらに、$k | ℓ$ の場合、$f_c(X)$ が平面であるための必要十分条件は、それが $X^2$ に線形同値であることであると述べています。
論文では、この結果を証明するために、付随する有理関数 $g_c(X)$ の幾何学的性質を調べ、Hurwitz 種数公式などの高度なツールを使用しています。また、線形同値性の概念を用いて、$g_c(X)$ を分類し、$f_c(X)$ の線形同値類を導出しています。
最後に、論文では、7つの線形同値代表元のうち、どの関数が平面であるかを調べ、主結果を証明しています。その過程で、有限体上の指標和の Weil bound を用いて、平面関数ではないものを除外しています。
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