時間依存量子調和振動子：Lewis-Riesenfeld 動的普遍量法による教育的アプローチ

核心概念

時間依存量子調和振動子のシュレーディンガー方程式の厳密解を導出するLewis-Riesenfeld動的普遍量法を解説し、周波数が突然変化する調和振動子の遷移確率や、Paulトラップ中の量子粒子のダイナミクスなど、具体的な問題への応用例を示す。

要約

本論文は、時間依存量子調和振動子（TDHO）をLewis-Riesenfeld（LR）動的普遍量法を用いて教育的に解説することを目的とする。
はじめに

時間に依存しないパラメータを持つ調和振動子は、古典力学から量子場理論まで、物理学において最も基本的なシステムの一つである。
量子力学の授業では、学生は時間的に変化しないパラメータを持つ調和振動子のシュレーディンガー方程式を解くことが多い。
しかし、時間依存量子調和振動子（TDHO）は、例えば、トラップ中の粒子の量子運動の記述、断熱過程のショートカット、膨張する宇宙で進化する量子スカラー場など、いくつかの問題をモデル化する際に重要となる。
時間依存量子調和振動子

本論文では、時間依存周波数を持つTDHOをLR動的普遍量法を用いて教育的に解説する。
LR法は、時間依存ハミルトニアンを持つ系のシュレーディンガー方程式の厳密解を求めることを可能にする。
応用例として、周波数が突然変化するTDHOに関連する遷移確率の計算と、Paulトラップ中の量子粒子のダイナミクスの解析を行う。
Lewis-Riesenfeld 動的普遍量法

LR法は、ハミルトニアンが時間に明示的に依存する系、すなわち、
iℏ∂/∂t|ψ(t)⟩= ˆH(t)|ψ(t)⟩
の解を求めるための方法である。
この方程式を解くための出発点は、普遍量演算子と呼ばれるエルミート演算子 ˆI(t) を見つけることである。
この演算子は、運動の定数であるという性質を持つ。すなわち、dˆI(t)/dt = 0 であり、ハイゼンベルク方程式から、
∂ˆI(t)/∂t + [ˆI(t), ˆH(t)]/(iℏ) = 0
となる。
時間依存量子調和振動子への応用

LR法の応用として、時間依存周波数 ω(t) を持つ一次元TDHOを解析する。
このTDHOは、ハミルトニアン演算子
ˆH(t) = ˆp^2/(2m_0) + m_0ω(t)^2ˆx^2/2
で記述される。
波動関数の計算

このセクションでは、このモデルに関連する波動関数をLR法を用いて計算する方法を概説する。
質量も時間に依存する場合については、例えば参考文献[6, 7]ですでに論じられている。
普遍量演算子

元々、普遍量演算子 ˆI(t) は、
ˆI(t) = [η_1(t)ˆx^2 + η_2(t)ˆp^2 + η_3(t){ˆx, ˆp}]/2
という仮定から得られる。
ここで、η_1(t)、η_2(t)、η_3(t) は実数値の時間依存関数であり（ˆI(t) がエルミートであることを保証する）、{ˆx, ˆp} は演算子 ˆx と ˆp の反交換子である。
普遍量演算子は運動の定数でなければならないため、式(21)を満たす必要がある。
これにより、関数 η_1(t)、η_2(t)、η_3(t) を含む連立微分方程式系が得られる。
普遍量演算子の固有値と固有関数

普遍量演算子 ˆI(t) の固有状態と固有値は、ディラックが定周波数調和振動子のハミルトニアンを対角化するために導入した方法と完全に類似した演算子技法によって求めることができる。
このように、演算子 ˆa(t) と ˆa†(t) を
ˆa(t) = [ˆx/ρ(t) + i(ρ(t)ˆp −m_0 ˙ρ(t)ˆx)]/√(2ℏ)
と
ˆa†(t) = [ˆx/ρ(t) −i(ρ(t)ˆp −m_0 ˙ρ(t)ˆx)]/√(2ℏ)
として導入する。
位相関数

TDHOの場合、式(30)は、α_{λ,ζ}(t) → α_n(t) とすると、
dα_n(t)/dt = ⟨n; t|(i∂/∂t −ˆH(t)/ℏ)|n; t⟩
と書ける。
波動関数

TDHOの場合、式(31)は、
|ψ(t)⟩= Σ_{n=0}^∞ C_n exp[iα_n(t)]|n; t⟩
と書き直される。
静的な場合

質量と振動子の周波数が時間に依存しない特別な場合 [m(t) = m_0 および ω(t) = ω_0]、パラメータ ρ(t) は
ρ(t) = ρ_0 = 1/√(m_0ω_0)
の形をとる。
時間依存量子調和振動子とスクイーズド状態の生成の関係

式(34)のハミルトニアン演算子は、ˆH(t) = ˆH_1(t) + ˆH_2(t) と書くことができる。
ここで、
ˆH_1(t) = ℏΛ_0(t)(ˆN(t) + 1/2)
と
ˆH_2(t) = ℏ(Λ_−(t)ˆa(t)^2 + Λ_+(t)ˆa†(t)^2)
である。
学部および大学院の問題への応用

このセクションでは、前のセクションで示した結果を用いて、参考文献[2]の問題2.14を解く。
この問題は、
ω(t) = {ω_0, t < 0; ω_1, t ≥ 0}
で定義される時間依存周波数モデルによってモデル化できる。
Paulトラップ中の粒子の量子ダイナミクス

Paulトラップは、振動電磁場を用いてイオンなどの荷電粒子を捕捉し、操作するために使用されるデバイスであり、冷却プロセスや質量分析など、物理学のさまざまな分野に応用されている。
このように、このデバイスの重要性から、学部や大学院の講義でその基本的な機能を学ぶことは有益であると考えられる。
しかし、Paulトラップ中の粒子のダイナミクスは、
ω(t) = ω_0/√(β + γ√(β + γ cos(2πt/τ)))
という形式の時間依存周波数を持つTDHOとして効果的にモデル化されるため、これらの講義で通常教えられているツールでは、この問題に対処するには不十分である。

統計

ω1 = 2ω0
Pp(t) = 2√(ω0ω1)/(ω0 + ω1)
Pp(t) = 2/√2 ≈ 0.943

抽出されたキーインサイト

The time-dependent quantum harmonic oscillator: a pedagogical approach via the Lewis-Riesenfeld dynamical invariant method

by Stanley S. C... 場所 arxiv.org 11-21-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.12894.pdf

深掘り質問

時間依存量子調和振動子の概念は、量子コンピューティングの分野でどのように応用できるでしょうか？

時間依存量子調和振動子 (TDHO) の概念は、量子コンピューティングの分野において、特に量子ビットの制御や量子ゲートの実装に、いくつかの興味深い応用が考えられます。

量子ビットの制御: TDHOのエネルギー準位の時間変化を利用することで、量子ビットの状態を正確に制御できる可能性があります。例えば、トラップイオン量子コンピュータでは、イオンをトラップする電位を時間的に変化させることで、イオンの量子状態を操作します。この操作は、TDHOの概念を用いてモデル化し、解析することができます。

量子ゲートの実装: TDHOのダイナミクスを適切に設計することで、量子ゲートを構成できる可能性があります。量子ゲートは、量子ビットの状態を操作するための基本的な構成要素であり、量子計算の実現には不可欠です。TDHOのパラメータを時間的に変化させることで、特定の量子ゲート操作を実現するハミルトニアンを構築できる可能性があります。

断熱量子計算: TDHOは、断熱量子計算と呼ばれる量子コンピューティングの手法においても重要な役割を果たします。断熱量子計算では、系のハミルトニアンをゆっくりと変化させることで、基底状態を保ちながら複雑な問題を解くことができます。TDHOは、断熱量子計算におけるハミルトニアンの時間変化を記述するための有用なモデルとなります。

量子シミュレーション: TDHOは、他の量子系の時間発展をシミュレートするためにも利用できます。量子シミュレーションは、量子コンピュータを用いて、古典コンピュータでは計算が困難な量子系の振る舞いを模倣する技術です。TDHOは、様々な物理系における時間依存現象をシミュレートするための基本的な構成要素となりえます。
これらの応用はまだ研究段階ですが、TDHOは量子コンピューティング分野において大きな可能性を秘めています。

本論文では、時間依存周波数を持つTDHOに焦点を当てていますが、質量も時間に依存する場合はどうなるでしょうか？

本論文では、時間依存周波数を持つTDHOに焦点を当てていますが、質量も時間に依存する場合、すなわち m = m(t) となる場合は、系の解析はより複雑になります。しかし、Lewis-Riesenfeld (LR) 法を用いることで、依然として厳密解を得ることが可能です。
質量も時間に依存する場合、Ermakov-Pinney方程式は、質量 m(t) を含む形で修正されます。具体的には、式(42)は以下のように変更されます。
m(t)ρ̈(t) + [ṁ(t)ρ̇(t) + m(t)ω(t)²ρ(t)] = 1/[m(t)ρ(t)³]
この修正されたErmakov-Pinney方程式を解くことで、時間依存する質量と周波数を持つTDHOのダイナミクスを記述することができます。解の形は、質量 m(t) の具体的な時間依存性に依存します。
質量の時間依存性を考慮することで、より広範囲な物理現象を記述することができます。例えば、電磁場中の荷電粒子の運動や、膨張宇宙における場の量子論などに応用することができます。

LR法は、他の量子系を解析するためにも使用できますか？

はい、LR法はTDHO以外にも、ハミルトニアンが時間に依存する他の量子系を解析するためにも使用できます。
LR法が有効な例としては、以下のような系が挙げられます。

時間依存電磁場中の荷電粒子の運動: 電場や磁場が時間的に変化する場合、荷電粒子のハミルトニアンは時間に依存します。LR法を用いることで、このような系における粒子の運動を記述することができます。

駆動された量子系: 外部から時間依存する力やポテンシャルが加わった系も、LR法を用いて解析することができます。

開放量子系: 開放量子系は、外部環境と相互作用する系であり、そのハミルトニアンは一般的に時間に依存します。LR法は、開放量子系のダイナミクスを解析するための強力なツールとなります。
LR法は、時間に依存するハミルトニアンを持つ量子系に対して、厳密解を得るための汎用的な方法です。ただし、LR法を適用するためには、適切な不変演算子を見つける必要があります。不変演算子の発見は、系の対称性や物理的な考察に基づいて行われます。