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エルミートK理論におけるシンプレクティック群に対するAtiyah-Segal完備化定理

Q: エルミートK理論の代わりに代数的K理論を用いると、どのような結果が得られるでしょうか？

エルミートK理論の代わりに代数的K理論を用いると、Atiyah-Segal完備化定理は、線形代数群の分類空間のK理論に関する定理に帰着します。これは、既にTotaro [Tot99]、Knizel-Neshitov [KN14]、Krishna [KR18]、Tabuada-van den Bergh [TB24]、Carlsson-Joshua [CJ23] らによって証明されています。 具体的には、代数的K理論を用いた場合、論文の主定理であるTheorem 1.0.2は、以下のように言い換えられます。 定理: kを標数2ではない体とする。このとき、標準的な写像 $$K(Rep(Sp_{2r})) \to K(BSp_{2r})$$ は、K(BSp_{2r})をIOSp_{2r}に関して完備化したものとなる。 ここで、K(-)は代数的K理論を表し、IOSp_{2r}は表現環K(Rep(Sp_{2r}))のaugmentation idealを表します。 代数的K理論は、エルミートK理論と比較して、その構造がより単純であるため、Atiyah-Segal完備化定理もより早く証明されました。

Q: この定理は、表現論や代数幾何学の他の分野にどのような応用があるでしょうか？

この定理は、表現論や代数幾何学の他の分野、特に以下のような分野に応用できる可能性があります。 モティビックホモトピー論: Atiyah-Segal完備化定理は、位相空間のホモトピー論における重要な定理であり、様々な応用があります。この定理の代数幾何学的類似である本論文の定理は、モティビックホモトピー論においても重要な役割を果たすと期待されます。例えば、分類空間のモティビックコホモロジーの計算や、モティビック安定ホモトピー圏の構造解明に役立つ可能性があります。 Chow-Witt群の計算: Chow-Witt群は、代数多様体の周群のエルミートK理論による類似物であり、近年盛んに研究されています。本論文で展開された手法は、Chow-Witt群の計算にも応用できる可能性があります。特に、分類空間のChow-Witt群の計算や、より複雑な代数多様体のChow-Witt群の構造解明に役立つ可能性があります。 二次形式の理論: エルミートK理論は、二次形式の理論と密接な関係があります。本論文の定理は、二次形式の理論、特に代数多様体上の二次形式の理論に新たな知見をもたらす可能性があります。例えば、代数多様体上の二次形式の分類問題や、Witt群の構造解明に役立つ可能性があります。 これらの応用に加えて、本論文の定理は、エルミートK理論自体をより深く理解するためにも重要な役割を果たすと考えられます。

核心概念

標数２ではない体上のシンプレクティック群のエルミートK理論に対するAtiyah-Segal完備化定理を証明する。証明では、GL1をSp2で、より一般的にはGLnをSp2nで系統的に置き換えることで、複素あるいは代数的K理論の証明のすべてのステップをGW理論に適応する。

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Atiyah-Segal completion for the Hermitian K-theory of Symplectic Groups

by Jens Hornbos... 場所 arxiv.org 10-28-2024

https://arxiv.org/pdf/2310.10824.pdf

Atiyah-Segal completion for the Hermitian K-theory of Symplectic Groups

深掘り質問

この結果は、他のリー群のエルミートK理論のAtiyah-Segal完備化定理を証明するためにどのように拡張できるでしょうか？

この論文の結果は、他のリー群、特にコンパクト型のリー群や、複素化がコンパクト型のリー群に対して、Atiyah-Segal完備化定理を証明するための道筋を示唆しています。

コンパクト型のリー群: コンパクト型のリー群は、極大トーラスに関して「良い性質」を持つルート系とワイル群を持ち、表現論が比較的扱いやすいことが知られています。論文では、シンプレクティック群Sp2nの表現論を用いてGW±(Rep(Sp2n))を計算し、それを基にAtiyah-Segal完備化定理を証明しています。同様の手法を用いることで、他のコンパクト型のリー群Gに対しても、GW±(Rep(G))を計算し、それを基にAtiyah-Segal完備化定理を証明できる可能性があります。

複素化がコンパクト型のリー群: 複素化がコンパクト型のリー群(例えばGLn)の場合、適切な対合を導入することで、その表現論を「実表現論」として捉え直すことができます。論文では、対合を持つ代数群の実表現論について考察し、GW±(Rep(G, ι))の計算方法を与えています。この結果を応用することで、複素化がコンパクト型のリー群Gに対しても、適切な対合ιを選び、GW±(Rep(G, ι))を計算し、それを基にAtiyah-Segal完備化定理を証明できる可能性があります。
ただし、これらの拡張を行うには、いくつかの課題を克服する必要があります。

適切な分類空間の構成: 論文では、シンプレクティック群Sp2nに対して、その分類空間BSp2nの適切な幾何学的モデルを構成しています。他のリー群に対してAtiyah-Segal完備化定理を証明するためには、それぞれのリー群に対して適切な分類空間の幾何学的モデルを構成する必要があります。

同変GW-理論の計算: 論文では、シンプレクティック群Sp2nの表現圏に対する同変GW-理論を計算しています。他のリー群に対してAtiyah-Segal完備化定理を証明するためには、それぞれのリー群の表現圏に対する同変GW-理論の計算が必要となります。
これらの課題を克服することで、論文の結果を他のリー群へと拡張し、より一般的なAtiyah-Segal完備化定理を証明できる可能性があります。

エルミートK理論の代わりに代数的K理論を用いると、どのような結果が得られるでしょうか？

エルミートK理論の代わりに代数的K理論を用いると、Atiyah-Segal完備化定理は、線形代数群の分類空間のK理論に関する定理に帰着します。これは、既にTotaro [Tot99]、Knizel-Neshitov [KN14]、Krishna [KR18]、Tabuada-van den Bergh [TB24]、Carlsson-Joshua [CJ23] らによって証明されています。
具体的には、代数的K理論を用いた場合、論文の主定理であるTheorem 1.0.2は、以下のように言い換えられます。
定理: kを標数2ではない体とする。このとき、標準的な写像
$$K(Rep(Sp_{2r})) \to K(BSp_{2r})$$
は、K(BSp_{2r})をIOSp_{2r}に関して完備化したものとなる。
ここで、K(-)は代数的K理論を表し、IOSp_{2r}は表現環K(Rep(Sp_{2r}))のaugmentation idealを表します。
代数的K理論は、エルミートK理論と比較して、その構造がより単純であるため、Atiyah-Segal完備化定理もより早く証明されました。

この定理は、表現論や代数幾何学の他の分野にどのような応用があるでしょうか？

この定理は、表現論や代数幾何学の他の分野、特に以下のような分野に応用できる可能性があります。

モティビックホモトピー論:  Atiyah-Segal完備化定理は、位相空間のホモトピー論における重要な定理であり、様々な応用があります。この定理の代数幾何学的類似である本論文の定理は、モティビックホモトピー論においても重要な役割を果たすと期待されます。例えば、分類空間のモティビックコホモロジーの計算や、モティビック安定ホモトピー圏の構造解明に役立つ可能性があります。

Chow-Witt群の計算: Chow-Witt群は、代数多様体の周群のエルミートK理論による類似物であり、近年盛んに研究されています。本論文で展開された手法は、Chow-Witt群の計算にも応用できる可能性があります。特に、分類空間のChow-Witt群の計算や、より複雑な代数多様体のChow-Witt群の構造解明に役立つ可能性があります。

二次形式の理論: エルミートK理論は、二次形式の理論と密接な関係があります。本論文の定理は、二次形式の理論、特に代数多様体上の二次形式の理論に新たな知見をもたらす可能性があります。例えば、代数多様体上の二次形式の分類問題や、Witt群の構造解明に役立つ可能性があります。
これらの応用に加えて、本論文の定理は、エルミートK理論自体をより深く理解するためにも重要な役割を果たすと考えられます。