ヒルベルトの三元四次形式定理の初等的証明：補足

核心概念

本稿では、すべての非負の実係数を持つ三元四次形式が三つの二次形式の平方和として表せるというヒルベルトの定理に対する、初等的かつ簡略化された証明法を提示する。

要約

ヒルベルトの三元四次形式定理の初等的証明：補足

本稿は、2012年に発表された論文[2]に対する非公式な補足である。この論文では、実数上のすべての非負の三元四次形式f = f(x, y, z)が、三つの二次形式の平方和として表現できるというヒルベルトの著名な定理に対する新たなアプローチを提示した。従来の証明とは異なり、この証明は、位相幾何学や代数幾何学からの高度なツールを使用しない、初等的なものであった。原則として、この証明は大学2年生であれば理解できるはずである。

[2]では、次数m, n ≥ 2を固定し、deg(f) ≤ m、deg(g), deg(h) ≤ n の実係数一変数多項式の三つ組(f, g, h)について考察した。[2, Sect. 7]では、f, g, hの係数を持つ、整数係数の明示的な形式Φm,n(f, g, h)を構成し、f ∈ R[x]≤mがdeg(f) ≥ m - 1で分離可能であり、g, h ∈ R[x]≤nが線形独立であるとき、Φm,n(f, g, h)の消失は、fとsg + thが少なくとも2次の共通因子を持つような複素数(s, t) ≠ (0, 0)のペアが存在することと同値であることを示した[2, Cor. 7.3]。非公式に言えば、不変量Φは、与えられた多項式が、与えられた多項式のペンシルの中のいくつかのメンバーと2つの根を共有するかどうかを決定することを可能にする。
本稿では、この不変量の適度な簡略化につながる議論を提示する。
命題1.4
1.3の仮定の下で、1.3のような共通因子pが存在する場合、(6)のPと、
A = g23・(g23f3 - 2g24f2),
B := g24g34
に対してΦ8,9(P, A, B) = 0となる。
AとBの（一般的な）次数は9であり、11（QとRの一般的な次数）よりも小さいため、不変量Φ8,9はΦ8,11よりもわずかにアクセスしやすいと予想される。第2節では、この新しい不変量が恒等的に消失しないことを、完全に手作業でできる方法で証明する。

抽出されたキーインサイト

An elementary proof of Hilbert's theorem on ternary quartics: Some complements

by Albrecht Pfi... 場所 arxiv.org 11-14-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.08479.pdf

深掘り質問

ヒルベルトの定理は、三元四次形式以外の多次形式にも拡張できるのか？

ヒルベルト自身、後年になってより高次・高変数の多項式に関する同様の表現定理をいくつか証明しています。しかし、三元四次形式の場合のように、任意の非負値形式が平方和として表現できるとは限りません。
具体的には、ヒルベルトは1888年の論文で、n変数d次同次多項式（n元d次形式）の場合、以下の場合に限り任意の非負値形式が平方和で表現できることを示しました。

n = 2 （二変数形式、次数dは任意）
d = 2 （二次形式、変数の数nは任意）
n = 3 かつ d = 4 （三元四次形式）
これらの場合以外、例えば n≧3 かつ d≧6 の場合には、非負値であっても平方和で表現できない形式が存在することが知られています。 このような反例の存在は、代数幾何学や表現論などの高度な数学を用いて証明されます。
つまり、ヒルベルトの定理は三元四次形式の場合に「たまたま」成り立つ特別な性質であり、安易に他の次数や変数に拡張することはできないのです。

この証明で用いられた不変量は、他の数学的問題にも応用できるのか？

この証明で用いられた不変量、特にΦm,nは、pencil of polynomials（多項式のペンシル）と呼ばれる概念と深く関連しています。
これは、二つの多項式f, gに対して、af+bg (a, bは体Kの元)と表される多項式の集合のことです。
Φm,nは、与えられた多項式fと、多項式のペンシルの中に、共通因子を持つものが存在するかどうかの判定に利用できます。
この性質から、Φm,nは以下のような問題に応用できる可能性があります。

多項式の因数分解: 多項式のペンシルと共通因子を持つものを探すことで、効率的な因数分解アルゴリズムの開発につながる可能性があります。
代数曲線の交点: 多項式の共通因子は、対応する代数曲線の交点に対応します。Φm,nを用いることで、交点の数や性質に関する情報を得られる可能性があります。
符号理論: 符号理論においては、多項式の性質が符号の性能に影響を与える場合があります。Φm,nを用いることで、良い符号を構成するための多項式の探索に役立つ可能性があります。
ただし、Φm,nは計算量が多いため、実際の応用には工夫が必要となるでしょう。

ヒルベルトの定理は、物理学や工学などの応用分野にどのような影響を与えるのか？

ヒルベルトの定理は純粋数学の定理ですが、一見すると関係なさそうな応用分野にも影響を与えています。
その理由は、非負値性の表現という問題が、様々な分野に共通して現れるからです。
具体例として、以下のような応用が挙げられます。

最適化問題: 多くの工学的問題は、ある関数を最小化する問題として定式化されます。 非負値の関数を平方和として表現することで、最適化問題をより扱いやすい形に変形できる場合があります。
制御理論: システムの安定性を調べる際に、リアプノフ関数と呼ばれる非負値関数が重要な役割を果たします。 ヒルベルトの定理は、リアプノフ関数の構成に役立つ可能性があります。
統計学: 確率密度関数は非負値である必要があります。 ヒルベルトの定理を用いることで、複雑な確率密度関数を、より単純な関数の組み合わせとして表現できる可能性があります。
これらの応用例は、ヒルベルトの定理が、一見すると純粋数学の問題のように見えても、実際には様々な応用分野に潜在的な影響力を持つことを示唆しています。
近年では、計算機科学の発展に伴い、ヒルベルトの定理を応用したアルゴリズムの開発なども行われており、今後ますます応用範囲が広がっていく可能性があります。