マルチアセットおよび一般化されたローカルボラティリティ：効率的な実装方法

核心概念

本稿では、株式や金利のハイブリッド商品、および確率的なドリフトやボラティリティを持つ資産を含む、広範なオプションを単一または複数の資産で価格付けするための、一般的かつ効率的なハイブリッド数値計算手法であるODgridを提案する。

要約

ODgridの概要

本稿では、様々なオプション価格決定問題に対処できる汎用的なハイブリッド数値計算手法であるODgridを紹介する。この手法は、従来の trinomial tree と固定グリッドベースの偏微分方程式（PDE）解法の利点を組み合わせたものである。

ODgridの仕組み

ODgridは、まず時間と空間を離散化し、オプションの満期時におけるペイオフを定義する。その後、時間的に遡りながら、各時点におけるオプション価格を計算する。この計算には、将来時点におけるオプション価格を補間する必要があるが、ODgridではAkima、M3-A、Stinemanなどの単調キュービック補間を用いることで、滑らかで安定した結果を得ている。

ODgridの利点

ODgridは、以下のような利点を持つ。

• 汎用性が高い：様々なドリフトやボラティリティの設定、複数資産や確率的なドリフト・ボラティリティを持つ資産にも対応可能。
• 実装が容易：確率が一定であるため、実装が容易である。
• 滑らかで安定した結果：単調キュービック補間を用いることで、滑らかで安定した結果を得ることができる。
• 計算速度が速い：trinomial tree やPDE解法と比較して、計算速度が速い。
• 様々な確率測度の利用：同一グリッド上で、前進方向と後退方向の両方の計算が可能であるため、様々な確率測度の利用が可能である。

ODgridの適用例

本稿では、ローカルボラティリティ、確率金利、確率ボラティリティ、一般化ローカルボラティリティなど、様々なオプション価格決定問題に対するODgridの適用例を示す。各例において、ODgridは正確かつ効率的にオプション価格を計算できることを示す。

ODgridの限界と今後の展望

ODgridは強力な手法であるが、高次元問題には次元災いの問題がある。ただし、準乱数や高次元補間を用いることで、この問題に対処できる可能性がある。

結論

ODgridは、広範なオプション価格決定問題に対して、正確かつ効率的な価格計算を可能にする汎用性の高い手法である。

統計

グリッドの細かさを0.50、時間ステップ数を100とした場合、市場インプライドボラティリティとODgridで計算したオプションプレミアムから導出されたボラティリティの差異は、様々なストライクと満期において最大0.05%であった。
満期1年、ストライク80、100、120、グリッドの細かさを0.5、時間ステップ数を12とした場合、モンテカルロ法とODgridで計算したバスケットコールオプション、ベストオブコールオプション、スプレッドコールオプションのプレミアムの差異は最大0.04であった。
満期1年、ストライク80、100、120、グリッドの細かさを0.20、時間ステップ数を12とした場合、モンテカルロ法とODgridで計算した3資産のバスケットコールオプションとベストオブコールオプションのプレミアムの差異は最大0.10であった。
株式のグリッドの細かさを0.50、金利のグリッドの細かさを0.50、時間ステップ数を50とした場合、市場インプライドボラティリティとODgridで計算したオプションプレミアムから導出されたボラティリティの差異は、様々なストライクと満期において最大0.09%であった。
満期1年、グリッドの細かさを株式とボラティリティともに1.0、時間ステップ数を50とした場合、モンテカルロ法とODgridで計算したコールオプションのプレミアムの差異は、最大0.04であった。

引用

"ODgrid relies on the use of a Monotone Cubic interpolation."
"Since the core algorithm is simple, we have to focus on two points : ... Setting up the grid ... Interpolating quickly and correctly"
"The ODgrid method consists in interpolating the corresponding values from a known grid"
"It is worth pointing out that, like in any numerical method, it comes down to a speed / accuracy trade-off."

抽出されたキーインサイト

Multi-asset and generalised Local Volatility. An efficient implementation

by Olivier Delo... 場所 arxiv.org 11-11-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.05425.pdf

深掘り質問

機械学習を用いたオプション価格決定手法とODgridの利点と欠点

近年注目されている機械学習を用いたオプション価格決定手法ですが、ODgridと比較した際の利点と欠点は以下の点が挙げられます。
機械学習を用いた手法の利点

高次元問題への対応力: ニューラルネットワークなどを用いることで、ODgridでは計算量が爆発的に増加してしまう高次元の問題にも対応できます。多数の資産を含むオプションや、複雑な市場モデルにも適用可能です。
ノンパラメトリックなモデリング: ボラティリティスマイルやサーフェスなど、複雑な市場の現象をパラメトリックな関数に当てはめることなく、データから直接学習できます。
大量データの活用: 近年増加している市場データや、オルタナティブデータなどを活用することで、より精度の高い価格決定モデルを構築できます。
機械学習を用いた手法の欠点

解釈可能性の低さ: ニューラルネットワークはブラックボックスになりやすく、価格決定の根拠が分かりにくいという欠点があります。
過学習: 学習データに過剰に適合し、未知のデータに対しては汎化性能が低いモデルになる可能性があります。適切な正則化や検証データを用いた評価が重要となります。
計算コスト: モデルの学習には大量のデータと計算時間を要する場合があります。
ODgridの利点

実装の容易さ: 本稿で示されているように、ODgridは比較的容易に実装できます。
計算速度: 機械学習に比べて、計算速度が速い傾向があります。特に低次元問題に対しては有効です。
解釈のしやすさ: 数値計算に基づいているため、価格決定の根拠が理解しやすいという利点があります。
ODgridの欠点

高次元問題への対応力の低さ: 次元が増加すると、計算量が爆発的に増加し、現実的な時間内で計算が困難になります。
複雑な市場現象への対応: ボラティリティスマイルやサーフェスなど、複雑な市場現象を表現するためには、ODgridのグリッド設定や補間方法を工夫する必要があります。
結論
機械学習を用いた手法は、高次元問題への対応力やノンパラメトリックなモデリングといった利点がある一方、解釈可能性や過学習といった課題も抱えています。ODgridは、実装が容易で計算速度が速いという利点がある一方、高次元問題への対応力が低いという欠点があります。
どの手法が優れているかは、具体的な問題設定や計算環境に依存します。

偏微分方程式解法との比較

本稿では、ODgridの精度の検証にモンテカルロ法を用いていますが、偏微分方程式解法との比較は、残念ながら本文中には見当たりません。
偏微分方程式解法は、オプション価格決定問題に対して高い精度を持つことが知られており、ベンチマークとして用いられることも多い手法です。特に、局所ボラティリティモデルのような、解析解が存在しないモデルに対しては有効な選択肢となります。
ODgridと偏微分方程式解法を比較する際には、以下の点が論点となるでしょう。

精度: ODgridは、グリッドの細かさや補間方法に依存しますが、偏微分方程式解法と比較して精度が劣る可能性があります。
計算速度: ODgridは、偏微分方程式解法と比較して計算速度が速い傾向があります。特に、高次元問題以外では顕著です。
実装の容易さ: ODgridは、偏微分方程式解法と比較して実装が容易です。
本稿では、ODgridの実装の容易さや計算速度の速さを強調しており、偏微分方程式解法との詳細な比較は今後の課題として残されている可能性があります。

オプション価格決定以外の金融分野への応用可能性

ODgridは、オプション価格決定以外にも、以下のような金融分野への応用が考えられます。

リスク管理: ODgridを用いることで、ポートフォリオの価格変動リスクを計算することができます。例えば、バリュー・アット・リスク(VaR)や期待ショートフォール(ES)などを計算する際に、ODgridを用いることで、モンテカルロ法よりも高速に計算できる可能性があります。
ポートフォリオ最適化: ODgridを用いることで、投資家の効用関数を最大化するような最適ポートフォリオを計算することができます。この際、ODgridを用いることで、モンテカルロ法よりも高速に計算できる可能性があります。
リアルオプション分析: ODgridは、設備投資などのリアルオプションの評価にも応用できます。リアルオプション分析では、将来の不確実性を考慮する必要があるため、ODgridのような数値計算手法が有効です。
ただし、ODgridをこれらの分野に応用する際には、以下のような課題も考えられます。

高次元問題への対応: リスク管理やポートフォリオ最適化では、多数の資産やリスク要因を考慮する必要があるため、ODgridの高次元問題への対応力の低さが課題となります。
複雑な制約条件への対応: ポートフォリオ最適化などでは、空売り制約や取引コストなど、複雑な制約条件を考慮する必要がある場合があります。ODgridでこれらの制約条件を扱うためには、アルゴリズムの工夫が必要となります。
これらの課題を克服することで、ODgridはオプション価格決定以外の金融分野においても、有効なツールとなり得ると考えられます。