核心概念
本論文では、加法的ウィーナーノイズによって駆動される確率的線形シュレーディンガー方程式に対して、有限要素法を用いた半離散的な数値近似手法を提案し、その収束性を理論および数値実験の両面から検証している。
本論文は、有界な凸多角形領域における加法的ウィーナーノイズによって駆動される確率的線形シュレーディンガー方程式の半離散有限要素近似を解析した研究論文である。
研究目的
確率的線形シュレーディンガー方程式の解を、有限要素法を用いて数値的に近似する。
有限要素近似の離散化パラメータに関する誤差評価を導出する。
方法
空間離散化に有限要素法を用いる。
決定論的な線形シュレーディンガー方程式と確率的な線形シュレーディンガー方程式の両方の数値近似を解析する。
決定論的な場合について、非同次系と、同次系についてそれぞれ誤差評価を導出する。
確率的な場合について、伊藤等式と決定論的な誤差評価を用いて、強い収束結果を示す。
結果
決定論的および確率的な線形シュレーディンガー方程式の両方に対して、有限要素近似の誤差評価を導出した。
誤差評価は、時間と空間の離散化パラメータに依存する。
理論的な誤差限界を裏付ける数値実験結果を示した。
結論
本論文では、加法的ウィーナーノイズによって駆動される確率的線形シュレーディンガー方程式に対する効率的な数値近似手法を提案した。有限要素法に基づく半離散的なスキマルを導入し、その収束性を厳密な誤差評価によって証明した。数値実験の結果は、理論的な分析を裏付けるものであり、提案手法の有効性を実証している。
意義
確率的偏微分方程式の数値解法の分野に貢献する。特に、確率的線形シュレーディンガー方程式の正確かつ効率的な数値解法を提供する。
今後の研究課題
時間離散化も考慮した完全離散スキムの誤差解析
乗法的ノイズを含むより一般的な確率的シュレーディンガー方程式への拡張
非線形シュレーディンガー方程式への適用可能性の検討