この論文は、測度論的群論の文脈において、非特異可算同値関係の空間における稠密軌道の存在と特性化について考察しています。
測度論的群論は、標準確率空間上における可算群の自由確率測度保存(p.m.p.)作用に関連する軌道分割を通して、可算群を研究する分野です。この分野において重要な概念は、軌道部分群の概念です。ある可算群Λが別の可算群Γの軌道部分群であるとは、Λの自由p.m.p.作用のすべての軌道が、Γの自由p.m.p.作用の軌道に含まれていることを意味します。このより柔軟な枠組みでは、オルンシュタイン・ワイスの定理は、すべての可算無限従順部分群がお互いの軌道部分群であることを示唆しており、ガボリオ・ライオンズの定理は、非従順群を、正確に2つの生成元上の自由群を軌道部分群として持つ群として特徴付けています。
この研究は、与えられた軌道への空間の分割において、可能な部分軌道分割を明らかにすることを目的としています。より正確には、標準確率空間(X, µ)上の同値関係Rが、µ零集合を保存する可算群の作用から得られる場合、Rは非特異と呼ばれ、測度µを実際に保存する可算群の作用から得られる場合、Rはp.m.p.と呼ばれます。この論文では、非特異同値関係が与えられたとき、その可能な部分同値関係は何かという問題に取り組んでいます。
この問題に取り組むための重要なステップとして、ケクリスは、周囲の同値関係がp.m.p.である場合、部分同値関係の空間に自然なポーランド位相を導入できるという注目すべき結果を得ました。これにより、記述集合論がこの問題に適用できるようになり、ケクリスによる部分同値関係の空間に関するモノグラフの最初の構成要素となっています。
この論文では、まずケクリスによる部分同値関係の空間に関する結果を非特異の場合に拡張することから始めます。
定理A: 標準確率空間上の非特異同値関係Rに対し、Rの部分同値関係の空間Sub(R)は、Rの測度代数によって誘導される位相に関してポーランド空間となる。
この定理は、Rの測度代数における収束列が、その極限が実際にそのliminfと等しい部分列を常に持つという事実を用いて証明されます。
次に、p.m.p.同値関係Rが与えられたとき、その可能な部分同値関係を同型を除いて理解するという自然な問題を考察します。これは、Rの自己同型群の、Rの部分同値関係への作用が符号化するものです。Rがエルゴード超有限p.m.p.同値関係である場合、完全群[R]と自己同型群Aut(R)の両方の自然な作用に対する稠密軌道の完全な特性付けが得られます。
定理B: エルゴード超有限p.m.p.同値関係R0の部分同値関係Sに対し、以下の条件は同値である。
(i) Sは非周期的であり、R0において至るところ無限指数を持つ。
(ii) Sの[R0]-軌道はSub(R0)において稠密である。
(iii) SのAut(R0)-軌道はSub(R0)において稠密である。
定理Bの証明は、フィマ、ムカルジー、パトリとの共同研究で開発された、超有限型II1因子のフォンノイマン部分代数の空間における稠密軌道を同様に特徴付ける手法に触発されています。この論文では、まず、どの部分同値関係が自明な部分同値関係∆X = {(x, x): x ∈X}に収束する変換列を持つかを理解する必要があります。
定理C: 非周期的p.m.p.同値関係Rと、その部分同値関係S∈Sub(R)に対し、以下の条件は同値である。
(i) SはRにおいて至るところ無限指数を持つ。
(ii) Sの[R]-軌道の閉包は∆Xを含む。
(iii) SのAut(R)-軌道の閉包は∆Xを含む。
さらに、イオアナの部分同値関係のインターレースと、上記の2つの部分同値関係の例を用いることで、次の結果が得られます。
定理D: エルゴードp.m.p.超有限同値関係R0に対し、すべての[R0]-軌道はSub(R0)においてmeagerである。
この論文では、非特異可算同値関係の空間における稠密軌道の存在と特性化について考察し、エルゴード超有限p.m.p.同値関係の場合において、完全群軌道と自己同型群軌道の稠密性に関する完全な特徴付けを与えました。また、完全群軌道のmeager性についても示しました。これらの結果は、測度論的群論における部分同値関係の空間の構造と、その軌道に関する理解を深めるものです。
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