対合を持つ既約正則シンプレクティック4様体の解析的トーション、II: 不変量の特異性について（吉川健一氏による付録付き）

核心概念

K3[2]型多様体の対合を持つ場合の不変量の境界挙動を、同変解析的トーションを用いて解析し、その代数性を示すとともに、Yoshikawa不変量との関連性を明らかにする。

要約

本論文は、対合を持つK3[2]型多様体の同変解析的トーションを調べた、3部構成の論文のうちの2番目の論文である。
研究背景

K3[2]型多様体は、K3曲面の2点のヒルベルトスキームに変形同値な既約正則シンプレクティック4様体である。
K3[2]型多様体とその反正則対合の変形型は、 admissible sublattice M と Kähler-type chamber K の組 (M, K) によって決定される (Joumaah [25])。
Yoshikawaは、2-elementary K3曲面に対して、同変解析的トーションを用いて不変量を導入し、それがモジュライ空間上の保型形式のPeterssonノルムとして表現されることを示した ([29], [45], [48], [49])。
研究内容
本論文では、K3[2]型多様体 X とその反正則対合 ι の組 (X, ι) に対して、[23] で導入された不変量 τ(X, ι) をより詳細に研究する。

τ(X, ι) は、 X の正規化された体積1を持つ ι-不変Ricci-flat Kähler計量に関する、余接束の同変解析的トーション、 Xι の解析的トーション、 Xι の体積、および H1(Xι, Z) の L2-計量に関する余体積の積として定義される。
モジュライ空間上の τ(X, ι) の境界挙動を理解するために、同変Quillen計量とL2-計量の特異性を解析する。
特異ファイバーが単純正規交叉特異点を持つ場合の、射影多様体の退化に対する同変解析的トーションの漸近挙動を調べる。
特定の場合において、 τ(X, ι) が Yoshikawa の正則トーション不変量と一致することを証明する。
結果

モジュライ空間の判別式軌跡の近くにおける不変量の特異性の代数性を示す (Theorem 0.1)。
特定の場合において、不変量が2-elementary K3曲面のYoshikawa不変量と一致することを証明する (Theorem 0.2, 0.3)。
結論
本論文の結果は、K3[2]型多様体の反正則対合による商のクレパント解消として得られるCalabi-Yau 4様体のBCOV不変量を計算する際に役立つ。

統計

抽出されたキーインサイト

Analytic torsion for irreducible holomorphic symplectic fourfolds with involution, II: the singularity of the invariant (with an Appendix by Ken-Ichi Yoshikawa)

by Dai Imaike 場所 arxiv.org 11-22-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.13911.pdf

深掘り質問

本論文の結果を、より複雑な特異点を持つ場合に拡張することはできるだろうか？

本論文では、特異ファイバーが単純正規交差であるという仮定が重要な役割を果たしています。これは、Bismut-Bost や Yoshikawa による Quillen 計量の特異性に関する先行研究や、Eriksson-Freixas i Montplet-Mourougane による L2 計量の特異性に関する結果を利用するために必要となります。
より複雑な特異点を持つ場合、これらの先行研究を直接適用することはできません。特異点解消などを使って単純正規交差の場合に帰着させることが考えられますが、その際に新たな困難が生じることが予想されます。例えば、特異点解消によって導入される例外因子の寄与を解析する必要があるかもしれません。
しかし、単純正規交差の場合に得られた結果を足がかりにして、より一般的な特異点を持つ場合にも同様の結果が成り立つと期待することは自然でしょう。そのためには、 equivariant Quillen 計量や L2 計量の特異性について、より深い理解が必要となるでしょう。

モジュライ空間全体で τ(X, ι) と Yoshikawa 不変量が一致しない場合、両者の関係性をどのように解釈できるだろうか？

モジュライ空間全体で τ(X, ι) と Yoshikawa 不変量が一致しない場合、両者の間には何らかの関係式が成り立つと期待することは自然です。
考えられる解釈の一つとして、両者の差がモジュライ空間上の保型形式で記述できる可能性があります。これは、両方の不変量がモジュライ空間上の関数として「良い」性質（例えば、保型性や有理的な挙動）を持つと期待されるためです。
より具体的には、両者の差が、モジュライ空間の境界因子に対応する保型形式の積として表されるかもしれません。この場合、各因子は境界における τ(X, ι) と Yoshikawa 不変量の振る舞いの違いを反映していると考えられます。
もう一つの可能性として、両者の不変量が、共通の「より基本的な」不変量から構成されている可能性も考えられます。この場合、両者の違いは、その構成方法の違いに起因すると解釈できます。
いずれにせよ、モジュライ空間全体で両者の関係性を明らかにすることは、K3[2] 型多様体のモジュライ空間の幾何学的構造や、その上の保型形式の理論への理解を深める上で重要な課題となるでしょう。

本論文で得られた結果は、ミラー対称性などの他の数学的対象との関連性を示唆しているだろうか？

本論文で得られた結果は、ミラー対称性との関連性を示唆している可能性があります。ミラー対称性とは、一見異なる幾何学的対象の間の不思議な双対性を主張する予想であり、近年、数学や物理学の様々な分野において活発に研究されています。
特に、Calabi-Yau 多様体のミラー対称性においては、Gromov-Witten 不変量と呼ばれる重要な不変量が、ミラー側の Calabi-Yau 多様体の複素構造の変形族における周期積分の挙動によって記述されることが知られています。
本論文で扱われている不変量 τ(X, ι) は、Calabi-Yau 多様体の BCOV 不変量と密接に関係しており、ミラー対称性の文脈においても重要な役割を果たすと期待されています。
具体的には、τ(X, ι) のモジュライ空間における挙動を調べることで、対応するミラー側の Calabi-Yau 多様体の Gromov-Witten 不変量に関する情報を得られる可能性があります。
また、本論文で得られた τ(X, ι) と Yoshikawa 不変量の関係式は、ミラー対称性における Picard-Fuchs 方程式と呼ばれる微分方程式の解の構造を理解する上でも重要な手がかりを与える可能性があります。
これらの関連性をさらに深く探求していくことは、ミラー対称性の理解を深める上で重要な課題となるでしょう。