この論文は、有限分配束の鎖代数の概念を、有限純粋半順序集合へと拡張し、拡張された鎖代数の代数的および組合せ論的な性質を探求しています。
論文は以下のように構成されています。
このセクションでは、半順序集合、アフィン半群(環)、標準加群のトレースイデアルなど、論文の理解に必要な基礎概念を概説しています。
このセクションでは、不等式と等式を用いてCPの関数を特徴付けます。この特徴付けに基づき、鎖代数K[CP]が正規領域であることを示します。主定理(定理3.1)は、関数fがCPに属するための必要十分条件を示し、それに基づき、CPが正規アフィン半群であり、K[CP]が正規領域であることを証明しています(系3.3)。
このセクションでは、K[CP]の標準加群を記述します。標準加群の構造を明らかにするために、KPに含まれる関数を特徴付けることが重要となります。重要な結果(定理4.5)は、関数fがKPに属するための必要十分条件を、Pのランクiの連結成分の適切な部分集合を用いて記述しています。
このセクションでは、前のセクションの結果に基づいて、任意の純粋半順序集合の鎖代数のクルル次元を明示的に計算する公式を示します。主定理(定理5.2)は、純粋半順序集合Pの鎖代数K[CP]のクルル次元を、Pの組合せ論的データを用いて明示的に与えています。
このセクションでは、斉次アフィン半群のセグレ積を導入し、その性質を研究します。これは、斉次アフィン半群環のセグレ積に対応します。目的は、穏やかな条件下で、斉次アフィン半群環のセグレ積が概ゴレンシュタインになるための同値条件を提示することです。
論文では、2部グラフの辺環がランク1の純粋集合の鎖代数と同一であることを示し、先行研究との関連性を論じています。また、鎖代数は正規であり、したがってコーエン・マコーレーであるため、いつゴレンシュタインまたは概ゴレンシュタインになるかという自然な疑問が生じます。この問題は、Pが分配束に限定されている場合でも、一般的には困難です。そこで、論文では、幅が2の純粋半順序集合の鎖代数の検討に焦点を絞っています。
論文では、正次数付きK代数RとSのセグレ積R#Sが、RとSの両方がゴレンシュタインであると仮定して、概ゴレンシュタインになる条件について議論しています。セグレ積を検討する理由は、P1⊕P2が純粋半順序集合P1とP2の順序和を表す場合、P1⊕P2の鎖代数がP1とP2の鎖代数のセグレ積になるためです。
最後に、論文では、幅2の純粋半順序集合の鎖代数を研究しています。このために、鎖代数が完全であることが証明されている単純な半順序集合の概念を導入し、幅2のすべての純粋半順序集合を、単純な半順序集合と反鎖の順序和に分解します。得られた結果に基づいて、K[CP]の正則性を計算し、Pが幅2の純粋半順序集合である場合に、K[CP]がゴレンシュタインまたは概ゴレンシュタインになる条件を示しています。
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