核心概念
双曲平面における通常の縮小多角形の周長と直径は、同じ最小幅を持つ正多角形が最小値をとり、外接円半径は正三角形が最大値をとる。
要約
この論文は、双曲平面における通常の縮小多角形の幾何学的性質、特に周長、直径、外接円半径について考察しています。
縮小多角形の定義と性質
- 論文では、まず縮小凸体の概念を導入し、ユークリッド平面や球面と同様に、双曲平面においても最小幅に関する縮小多角形の定義を与えています。
- 特に、通常の縮小多角形は、すべての頂点が反対側に最小幅と同じ距離にあり、これらの頂点を反対側に射影した点が辺の相対的な内側に位置するような奇数角形として定義されます。
主な結果
- 周長の最小性: 同じ最小幅を持つ通常の縮小n角形の中で、正n角形が最小の周長を持つことが証明されています。この結果は、ユークリッド平面における縮小多角形についても成り立つことが示されています。
- 直径の上限: 通常の縮小多角形の直径は、最小幅の関数として表される上限を持つことが示されています。この上限は、正三角形の場合にのみ達成されます。
- 外接円半径の上限: 通常の縮小多角形の外接円半径も、最小幅の関数として表される上限を持つことが示されています。この上限も、正三角形の場合にのみ達成されます。
- 円盤による被覆: さらに、通常の縮小多角形は、その境界上の点を中心とする半径が最小幅と等しい円盤に含まれることが示されています。この結果は、ユークリッド平面や球面における縮小多角形に関する既存の結果と一致しています。
結論
論文では、双曲平面における通常の縮小多角形の周長、直径、外接円半径に関する新たな結果が示されました。これらの結果は、双曲幾何学における縮小体の理解を深めるだけでなく、ユークリッド平面や球面における対応する結果との興味深い比較を提供しています。
統計
双曲平面における通常の縮小多角形の直径は、最小幅wに対して、2arcosh((cosh w + √(cosh^2 w + 8))/4)以下である。
双曲平面における通常の縮小多角形の外接円半径は、最小幅wに対して、arsinh(2/√3 √((cosh w + √(cosh^2 w + 8))/4)^2 - 1)以下である。
引用
"On the hyperbolic plane among ordinary reduced n-gons of minimal width w, regular n-gons of the same minimal width have the smallest perimeter."
"If P ⊂H2 is an ordinary reduced polygon of minimal width w, then its diameter is at most diam (P) ≤2 arcosh ((cosh w + √(cosh^2 w + 8))/4) with equality if and only if P is the regular triangle."