√2π のユビキタスな役割：スターリングの公式（および関連する公式）に対する確率論的証明

核心概念

本稿では、確率論と統計学、特に中心極限定理を用いることで、スターリングの公式および関連する近似公式の新たな証明を提示する。

要約

本稿は、スターリングの公式とその関連公式に対して、確率論と統計学を用いた新たな証明を提供する研究論文である。

論文の構成と要約:

1. 導入: スターリングの公式は、階乗の近似式として広く知られており、その歴史は1730年に遡る。本稿では、中心極限定理(CLT)とベイズ推定における周辺分布の近似を通じて、この公式と関連する近似式に対する新たな証明を提示する。

2. CLT との関係: CLT を用いた証明の核心は、独立同分布(i.i.d.)に従う確率変数の和の分布が、サンプルサイズが大きくなるにつれて標準正規分布に収束するという点にある。

   • ポアソン分布: ポアソン分布に従う確率変数の和を考え、その平均値からのずれを標準化した変数の分布が標準正規分布に収束することを利用することで、スターリングの公式を導出できる。
   • ガンマ分布: ガンマ分布に対しても同様の手法を用いることで、スターリングの公式を導出できる。
   • 二項分布: 対称な二項分布に対しても、CLT を用いることでスターリングの公式を導出できる。

3. アーウィン・ホール分布: 一様分布に従う i.i.d. 確率変数の和の分布として知られるアーウィン・ホール分布を用いることでも、スターリングの公式を導出できる。本稿では、アーウィン・ホール分布の切断モーメントに対する新たな公式を導出し、それを用いてスターリングの公式を証明している。

4. 一様標本のメディアン: 一様分布に従う i.i.d. 確率変数の標本メディアンの分布は、ベータ分布に従う。このメディアンの分布に対しても CLT を適用することで、スターリングの公式を導出できる。さらに、この証明過程で得られた結果を用いることで、πのウォリス積公式も導出できる。

5. ラプラス近似: ラプラス近似を用いることでも、スターリングの公式を導出できる。ラプラス近似は、積分を近似的に計算する際に用いられる手法であり、本稿では、ガンマ関数の積分に対してラプラス近似を適用することで、スターリングの公式を導出している。

6. 歴史的背景: スターリングの公式、ド・モアブルの二項係数の近似式、ウォリスの積公式は、それぞれ歴史的に重要な成果である。本稿では、これらの成果が本質的に等価であることを示し、それぞれの歴史的背景についても解説している。

7. 結論: 本稿では、確率論と統計学、特に CLT を用いることで、スターリングの公式および関連する近似公式の新たな証明を提示した。これらの証明は、古典的な公式に対する新たな視点を提供するものである。

統計

スターリングの公式: n! .= nn exp(−n)√2π n
ウォリスの積公式: π/2 = (2/1) * (2/3) * (4/3) * (4/5) * (6/5) * (6/7) * ...

引用

"Intriguingly and surprisingly, starting just by multiplying 1･2, 1･2･3, 1･2･3･4, ..., the formula turns out to involve the eternal mathematical constants e = 2.718282 ... and π = 3.141593 ...."
"With the benefit of some extra 295 years of probability, we as statisticians of today might be slightly less surprised than was de Moivre, in 1729, having received a letter from Stirling; we’re used to seeing √2π as part of our normal workload."
"Enthrallingly, we have explained via understanding the behaviour of the median in uniform samples that the Wallis formula must be true."

抽出されたキーインサイト

Probability Proofs for Stirling (and More): the Ubiquitous Role of $\mathbf{\sqrt{2\pi}}$

by Nils Lid Hjo... 場所 arxiv.org 10-28-2024

https://arxiv.org/pdf/2410.19555.pdf

深掘り質問

スターリングの公式は、物理学や情報理論など、他の分野でどのように応用されているのだろうか？

スターリングの公式は、物理学、情報理論、統計力学など、様々な分野で広く応用されています。その理由は、大きな階乗の計算を簡略化できるため、複雑なシステムの解析に役立つからです。以下に、具体的な応用例をいくつか示します。
物理学:

統計力学: 多数の粒子からなるシステムの挙動を統計的に解析する統計力学において、スターリングの公式は不可欠です。例えば、気体分子運動論では、膨大な数の気体分子の速度分布を導出する際に、スターリングの公式を用いて状態数の計算を簡略化します。
熱力学: エントロピーなどの熱力学的な量を計算する際に、スターリングの公式が用いられます。特に、系のエントロピーは、可能な微視的状態数の対数に比例しますが、この状態数はしばしば巨大な階乗を含むため、スターリングの公式による近似が不可欠となります。
情報理論:

符号化理論: データ圧縮や誤り訂正などを行う符号化理論において、スターリングの公式は、符号の効率を評価する際に用いられます。例えば、可能な符号語の数を数え上げる際に、スターリングの公式が役立ちます。
情報エントロピー: 情報源の不確かさを測る尺度である情報エントロピーの計算にも、スターリングの公式が応用されます。情報エントロピーは、確率分布の対数を含む式で表されますが、この確率分布が多くの事象を含む場合、スターリングの公式による近似が有効となります。

スターリングの公式の誤差項をより精密に評価することで、どのような新しい知見が得られるだろうか？

スターリングの公式の誤差項をより精密に評価することで、近似の精度を向上させるだけでなく、階乗関数や関連する関数に対するより深い理解を得ることが期待されます。具体的には、以下のような新しい知見が得られる可能性があります。

より正確な近似: 誤差項を精密に評価することで、スターリングの公式自体をより正確なものに改良できます。これは、特に巨大な階乗を扱う場合や、高精度な計算が必要な場合に重要となります。
漸近展開: スターリングの公式は、階乗関数の漸近展開の最初の項と考えることができます。誤差項を詳しく調べることで、より高次の項を求め、階乗関数の挙動をより正確に把握できる可能性があります。
特殊関数との関係: スターリングの公式は、ガンマ関数やゼータ関数などの特殊関数と密接に関係しています。誤差項の解析を通じて、これらの特殊関数の性質や相互関係について、新たな知見が得られるかもしれません。

ランダムウォークのような確率過程の解析を通じて、他の数学的な定理や公式を導出することはできるだろうか？

ランダムウォークのような確率過程の解析は、他の数学的な定理や公式を導出するための強力なツールとなりえます。実際、本稿で紹介されているように、スターリングの公式やウォリスの公式は、ランダムウォークや関連する確率過程の解析を通じて導出できます。
以下に、ランダムウォークの解析を通じて他の数学的な結果を導出できる可能性を示す例をいくつか挙げます。

中心極限定理: ランダムウォークのステップ数を大きくしていくと、その位置の分布は正規分布に近づいていきます。これは中心極限定理として知られており、確率論における最も重要な定理の一つです。
調和級数の発散: 対称ランダムウォークが原点に戻る確率を解析することで、調和級数が発散することを示すことができます。
組合せ論的な恒等式: ランダムウォークの経路を数え上げることで、様々な組合せ論的な恒等式を導出することができます。
ランダムウォークは、一見単純な確率過程に見えますが、その背後には豊かな数学的構造が隠されています。その解析を通じて、他の数学的な定理や公式を導出できる可能性は、まだまだ広がっていると言えるでしょう。