G2 から SO(8) へ： 超対称性とトライアリティーの創発と残影

核心概念

最小の例外的なリー群 G2 対称性を持つ (1+1) 次元の 4 成分フェルミオン系の低エネルギー有効理論は、SO(8) トライアリティーと創発的な超対称性を示し、格子正則化によってこれらの対称性がどのように破れるかを明らかにする。

要約

書誌情報

Gao, Z.-Q., & Wu, C. (2024). From G2 to SO(8): Emergence and reminiscence of supersymmetry and triality. Journal of High Energy Physics.

研究目的

本研究では、例外的なリー群 G2 対称性を持つ (1+1) 次元の 4 成分フェルミオン系の低エネルギー有効理論を調査し、その創発的な対称性と格子正則化による影響を明らかにすることを目的とする。

方法

最小の G2 対称格子モデルを基に、粗視化された (1+1) 次元連続体モデルを構築し、1 ループ繰り込み群 (RG) 解析を用いて、RG フローパターンと対応するギャップのある相と臨界相を調べた。

主な結果

• 連続体モデルでは、3 つの異なる SO(7) 対称性間のトライアリティー関係として SO(8) トライアリティーが現れ、3 つのギャップのある相と 3 つの Ising 臨界相が生じる。
• これらの相間の相転移は、中心電荷 c = 4 の Luttinger 液体相、または中心電荷 c = 6/5 の G2 対称多重臨界相のいずれかによって記述される。
• G2 多重臨界相は、Ising CFT と TCI CFT の直積で記述され、TCI CFT によって運ばれる創発的な時空超対称性を持つ。
• 格子正則化を行うと、3 つの SO(7) 対称性間のトライアリティーは、2 つの SO(7) 対称性の双対性に破れ、時空超対称性も、真の量子力学的超対称性ではなく、オンサイトのボソニック状態とフェルミオン状態間の縮退パターンに縮退する。

結論

本研究は、G2 対称フェルミオン系における SO(8) トライアリティーと創発的な超対称性の出現を明らかにし、格子正則化によってこれらの対称性がどのように影響を受けるかを詳細に示した。

意義

本研究は、強相関系における例外的なリー群対称性の役割と、低エネルギー有効理論における創発的な対称性の理解を深めるものである。

制限と今後の研究

本研究では 1 ループ RG 解析を用いているため、高次の効果による補正の可能性が残されている。また、本研究で得られた結果を検証するために、数値計算などの他の手法を用いた研究も必要である。

統計

中心電荷 c = 1/2 は、ギャップのないマヨラナモードに起因する。
中心電荷 c = 4 は、8 つのマヨラナの自由理論、すなわち SO(8)1 WZW モデルに対応する。
中心電荷 c = 7/10 は、臨界的な Ising (TCI) 相に由来する。
中心電荷 c = 6/5 は、Ising CFT と TCI CFT の直積に由来する。

引用

抽出されたキーインサイト

From $G_2$ to $SO(8)$: Emergence and reminiscence of supersymmetry and triality

by Zhi-Qiang Ga... 場所 arxiv.org 11-14-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.08107.pdf

深掘り質問

高次元系における G2 対称性と SO(8) トライアリティーの関係はどうなるのだろうか？

高次元系において、G2 対称性と SO(8) トライアリティーの関係は、一般的にはより複雑になり、自明ではなくなります。本研究で扱われた1+1次元系においては、フェルミオンの自由度と相互作用の構造が、低エネルギー有効理論において SO(8) トライアリティーが出現する特殊な状況を生み出しました。
高次元系では、以下の点が重要になります。

フェルミオンの表現: G2 対称性を持つ系を構成する際に、フェルミオンが SO(8) のどの表現に属するかによって、トライアリティーとの関係性が変化します。
相互作用の次元: 相互作用項の次元は、低エネルギー有効理論における対称性の出現や破れに影響を与えます。高次元系では、1+1次元系とは異なるタイプの相互作用が許容されます。
空間次元における対称性の制限: 高次元空間におけるフェルミオンの表現や相互作用の形式は、低次元系よりも厳しい制限を受けます。
これらの要素を考慮すると、高次元系における G2 対称性と SO(8) トライアリティーの関係は、具体的なモデルに依存し、一般的な結論を導き出すことは困難です。個々のモデルに対して、低エネルギー有効理論における対称性とトライアリティーの関係を解析する必要があります。

格子正則化によって時空超対称性が完全に破れるのではなく、縮退パターンとして残るメカニズムをより深く理解するにはどうすればよいだろうか？

格子正則化によって時空超対称性が完全に破れるのではなく、縮退パターンとして残るメカニズムをより深く理解するには、以下の様なアプローチが考えられます。

超対称性の表現論に基づいた解析: 格子モデルにおける Majorana フェルミオンの演算子と、連続理論における超対称電荷 Q の表現論的な対応関係を調べることで、格子正則化による対称性の破れの度合いを定量的に評価できます。特に、格子モデルにおける「超電荷演算子」の候補となる演算子の交換関係を計算し、それが連続理論における超対称代数をどれだけ再現するかを調べることで、縮退パターンが残るメカニズムを理解できる可能性があります。

格子モデルの低エネルギー有効理論の構築: 格子モデルの低エネルギー有効理論を、例えば強結合展開や数値計算などを用いて解析することで、格子間隔をゼロに近づける極限における対称性の回復の様子を調べることができます。特に、有効理論における演算子のスケーリング次元や相関関数を計算することで、連続理論における時空超対称性との対応関係を明らかにできる可能性があります。

超対称性を保つ格子正則化手法の検討: 近年、格子ゲージ理論の分野などで、超対称性を保つ格子正則化手法の開発が進展しています。これらの手法を G2 対称性を持つフェルミオン系に応用することで、格子正則化による対称性の破れを抑制し、時空超対称性が縮退パターンとしてではなく、より厳密な形で格子モデルに実現できる可能性があります。

これらのアプローチを組み合わせることで、格子正則化によって時空超対称性が縮退パターンとして残るメカニズムをより深く理解し、G2 対称性を持つ系における超対称性の役割を明らかにできる可能性があります。

本研究で得られた G2 対称多重臨界相は、現実の物質系で実現可能だろうか？実現するとすれば、どのような実験系で観測されるだろうか？

本研究で得られた G2 対称多重臨界相は、エキゾチックな対称性と臨界性を持ち合わせており、現実の物質系における実現可能性は大変興味深い問題です。実現するとすれば、以下の様な系が考えられます。

スピン-3/2 冷原子系: 本研究で扱われた G2 対称モデルは、スピン-3/2 を持つ原子気体に対して、適切な光格子や相互作用を設計することで実現できる可能性があります。特に、光格子中の冷却原子系は、パラメータを精密に制御できるため、多重臨界現象の観測に適しています。

擬一次元物質: 強力なスピン軌道相互作用を持つ遷移金属酸化物など、擬一次元的な電子構造を持つ物質においては、有効模型として G2 対称性を持つ模型が現れる可能性があります。このような系では、電気伝導や磁化率などの測定を通して、G2 対称多重臨界相に特徴的な臨界現象を観測できる可能性があります。

トポロジカル物質の界面・エッジ状態: トポロジカル絶縁体やトポロジカル超伝導体などのエッジ状態や界面状態は、バルクとは異なるエキゾチックな性質を示すことが知られています。適切な物質の組み合わせや界面構造を設計することで、G2 対称性を持つ多重臨界相がエッジ状態として発現する可能性があります。

観測方法としては、以下の様なものが考えられます。

比熱測定: 多重臨界相では、比熱が臨界温度付近で特異的な振る舞いを示します。
磁化率測定: G2 対称性はスピン自由度と関連しているため、磁化率測定を通して臨界現象を観測できる可能性があります。
中性子散乱: スピン励起の分散関係を調べることで、G2 対称性と多重臨界性に起因する特徴的な振る舞いを観測できる可能性があります。
走査型トンネル顕微鏡 (STM): トポロジカル物質の界面・エッジ状態に G2 対称多重臨界相が実現した場合、STM を用いることで、その局所的な電子状態を観測できる可能性があります。
これらの実験系と観測方法を組み合わせることで、G2 対称多重臨界相の探索が進展し、現実の物質系におけるエキゾチックな量子相の実現に繋がる可能性があります。