クライン・ゴルドン方程式は、相対論的な量子力学を記述する基礎方程式の一つであるが、歴史的に、負の確率密度を持つという問題が指摘されてきた。これは、従来の確率解釈では、確率密度が常に正の値を取ることが要請されるため、矛盾が生じる。
本論文では、クライン・ゴルドン方程式に埋め込みの手法を適用することで、この問題を解決することを提案している。具体的には、補助場を導入し、クライン・ゴルドン方程式を時間に関して一階の結合方程式系に書き換える。この結合方程式系は、時間に関して順方向と逆方向のシュレーディンガー方程式に対応しており、それぞれ粒子と反粒子を表す。
この埋め込みによって、クライン・ゴルドン方程式には、時間的に保存される二つの正の積分が存在することが明らかになる。これらの積分は、正のノルムを持つ確率振幅に対応しており、従来の負の確率密度という問題を解消する。
論文では、従来、負の確率密度と考えられていた量は、実際にはエネルギー密度であることを示している。これは、従来の確率密度が、時間に関して順方向と逆方向の成分のエネルギーの差を表していることに起因する。
本論文の解析により、クライン・ゴルドン方程式は、粒子生成や消滅を伴わない相対論的量子力学の記述としても解釈できることが示された。これは、時間軸の選択に応じて、正と負のエネルギー部分がそれぞれ保存されるためである。
本研究は、クライン・ゴルドン方程式の新たな解釈を提供するものであり、今後の量子場理論の発展に寄与する可能性がある。特に、第二量子化の下での振る舞いなど、さらなる研究が期待される。
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