ケーララ学派におけるarcsin関数の計算について

核心概念

本稿では、インドのケーララ学派の数学者・天文学者たちが、様々な天文学的問題、特に惑星の「中心差」に関連して重要となるarcsin関数の値をどのように計算したかを解説する。

要約

ケーララ学派におけるarcsin関数の計算方法

本稿は、インドのケーララ学派の数学者・天文学者たちがarcsin関数の値をどのように計算したかを解説する研究論文である。arcsin関数の値の計算は、惑星の「中心差」に関連する天文学的問題において特に重要となる。本稿では、ナーラヤナ・パンディタの弟子であり、より正確な月行表を作成したことで知られるサンガマグラーマ・マーダヴァ（1340年頃-1425年頃）のアイデアを源流とする、4つの異なる計算方法が紹介されている。これらの方法はすべて、ニーラカンタ・ソーマヤジ（1444年-1545年）の『タントラサングラハ』に記載されている。

4つの計算方法

1. 引数が小さい場合の簡易な方法: この方法は、マーダヴァ-ニュートン級数に基づいており、小さな弧の長さを計算するために用いられる。
2. 引数が小さい場合の反復法: この方法は、最初の近似値から始めて、より正確な値が得られるまで計算を繰り返す反復計算を用いる。
3. 参照表を用いる方法: この方法は、あらかじめ計算されたarcsin関数の値をまとめた表を用いる。
4. 引数が大きい場合の方法: この方法は、2つの弧の差を、それらの弧のジヤとコジヤを用いて近似する公式に基づいている。

本稿では、各方法について、サンスクリット語の原文と英語の翻訳、そして具体的な数値例を用いた解説がなされている。さらに、ジエシュタデーヴァ（1500年頃-1575年頃）の『ユクティバーシャ』に記載されている、円周率の計算方法についても紹介されている。この方法は、arcsin関数を用いた独特な方法である。

本稿の意義

本稿は、ケーララ学派の数学者・天文学者たちが、arcsin関数の値を計算するために、独創的で洗練された方法を開発していたことを示している。これらの方法は、当時の天文学的問題を解決するために必要不可欠なものであり、その後の数学の発展にも大きく貢献したと言えるだろう。

統計

Bhāskara Iの正弦関数近似式における最大相対誤差は1.8%未満である。
Mādhavaの正弦関数表の最初の項目は、jyā (225′) = 809422′′′ である。
jyā (s) = 3000′の場合、sの値は3646′ 11′′ 14′′′ と計算される。

引用

“Subtract the degrees of the bhuja (or koti) from the degrees of half a circle (i.e., 180◦). Then multiply the remainder by the degrees of the bhuja (or koti) and put down the result at two places. At one place subtract the result from 40500. By one-fourth of the remainder (thus obtained) divide the result at the other place as multiplied by the antyaphala (i.e., the epicyclic radius). Thus is obtained the entire bahuphala (or kotiphala) for the Sun, Moon, or the star-planets. So also are obtained the direct and inverse Rsines.”
“Multiply 10125 by the given jy¯a and divide by the quarter of the given jy¯a plus the radius; subtracting the quotient from the square of 90, extract the square-root and subtract (the root) from 90; the remainder will be in degrees and minutes; thus will be found the arc of the given jy¯a without the table of jy¯a-s.”
“The sum of the kojy¯a-s divided by the difference of those two jy¯a-s, which are close to each other, forms the cheda (divisor). Twice the trijy¯a divided by this is the difference between the corresponding arcs.”

抽出されたキーインサイト

On the computation of the arcsin function in the Kerala school of astronomy and mathematics

by V. N. Krishn... 場所 arxiv.org 11-14-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.08296.pdf

深掘り質問

ケーララ学派の数学・天文学は、西洋数学とは全く異なる発展を遂げたとされていますが、arcsin関数の計算方法において、両者に共通点や類似点は見られるのでしょうか？

ケーララ学派と西洋数学では、arcsin関数の計算方法においても、興味深い共通点と相違点が見られます。
共通点:

級数展開の利用: ケーララ学派は、マドハバ-ニュートン級数と呼ばれる、三角関数を無限級数で表す方法を発見していました。これは、西洋でテイラー展開として知られるものと本質的に同じものです。arcsin関数も、テイラー展開を用いて級数展開が可能であり、両者ともこの級数展開に基づいた近似計算を利用していました。
幾何学的考察: ケーララ学派は、円や弦の長さの関係からarcsin関数の近似式を導き出すなど、幾何学的な考察を重視していました。西洋においても、古代ギリシャ時代から三角関数の研究は幾何学と密接に関係しており、arcsin関数の理解にも幾何学的なアプローチが用いられていました。
相違点:

無限級数の扱い: ケーララ学派は、円周率の計算など、無限級数を積極的に活用していましたが、その収束性や誤差評価については体系的な議論は行っていませんでした。一方、西洋数学では、17世紀以降、微積分学の発展に伴い、無限級数の厳密な理論が構築されていきました。
代数学的記法の有無: ケーララ学派は、高度な数学的概念を詩文形式で表現しており、現代的な代数学的記法は用いていませんでした。そのため、計算式は複雑で理解しにくいものでした。一方、西洋では、アラビア数学の影響を受け、16世紀以降、代数学的記法が導入され、計算式が簡潔に表現されるようになりました。
このように、ケーララ学派と西洋数学では、arcsin関数の計算方法においても、共通の目標を異なるアプローチで追求していたと言えるでしょう。

本稿で紹介されているarcsin関数の計算方法は、現代のコンピュータを用いた計算方法と比較して、精度や計算速度の面でどの程度劣っているのでしょうか？

現代のコンピュータは、arcsin関数を高速かつ高精度に計算できます。一方、本稿で紹介されているケーララ学派の方法は、計算速度や精度において現代の方法に及びません。
精度:

現代のコンピュータ：倍精度浮動小数点数演算を用いると、10進数で約15桁の精度が得られます。
ケーララ学派の方法：近似式を用いるため、精度には限界があります。ただし、級数の項数を増やすことで、精度を向上させることは可能です。本稿で紹介されている方法では、角度に応じて分や秒の単位まで正確な値を得られています。
計算速度:

現代のコンピュータ：arcsin関数の計算は、CPU内部のマイクロコードで最適化されており、非常に高速に実行できます。
ケーララ学派の方法：手計算で行う場合、級数の項数が増えるほど計算量が増加し、計算時間がかかります。
ケーララ学派の方法は、計算速度や精度において現代の方法に劣りますが、当時の限られた計算資源の中で、実用的な精度でarcsin関数を計算する方法を開発したことは、非常に画期的であったと言えるでしょう。

ケーララ学派の数学者・天文学者たちは、arcsin関数の計算方法以外にも、どのような数学的・天文学的発見を成し遂げたのでしょうか？彼らの業績は、現代社会にどのような影響を与えているのでしょうか？

ケーララ学派は、arcsin関数の計算方法以外にも、様々な数学的・天文学的発見を成し遂げました。彼らの業績は、西洋数学に先駆けるものも多く、現代数学や天文学の礎となっています。
主な業績:

無限級数の発見: 三角関数（sin, cos, tan）や円周率を無限級数で表すことを発見しました。これは、西洋数学よりも数世紀も早い発見でした。
微積分の概念: 無限小や極限の概念を導入し、微積分の基礎を築きました。
天体観測と理論: 精密な天体観測を行い、独自の天文理論を構築しました。
現代社会への影響:

数学・天文学の発展: ケーララ学派の業績は、19世紀以降、西洋に紹介され、数学、特に解析学や天文学の発展に大きく貢献しました。
インドの科学技術: ケーララ学派の伝統は、現代インドの科学技術の発展にも影響を与えています。
異文化理解: ケーララ学派の研究は、西洋中心史観を見直し、多様な文化における数学の発展を理解する上で重要な意義を持っています。
ケーララ学派の数学者・天文学者たちは、現代社会の基盤となる数学や天文学の発展に大きく貢献しました。彼らの業績は、現代においても高く評価され、研究対象となっています。