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ハミルトン・ヤコビ方程式とアイコナール方程式から導出するシュレーディンガー方程式


核心概念
シュレーディンガー方程式は、古典力学におけるハミルトン・ヤコビ方程式と幾何光学におけるアイコナール方程式の類似性を利用して、波動方程式から導出できる。
要約

この論文では、量子力学の教科書でしばしば省略されるシュレーディンガー方程式の導出について、詳細に解説している。多くの教科書では、シュレーディンガー方程式を天下り的に導入したり、短く説明を済ませたりする傾向がある。しかし、この論文では、古典力学におけるハミルトン・ヤコビ方程式と幾何光学におけるアイコナール方程式の類似性を用いることで、シュレーディンガー方程式を波動方程式から導出する方法を詳細に示している。

まず、光の本質に関する歴史的な議論、すなわち光が粒子の流れなのか、エーテル中の波動なのかについて概説する。そして、アイコナール方程式を導出し、波動が粒子の流れとして振る舞う条件を示す。次に、電子の回折と干渉を示す、電子銃を用いた三つの実験について考察する。これらの実験結果を説明するために、古典力学におけるハミルトン・ヤコビ方程式と幾何光学におけるアイコナール方程式を比較し、シュレーディンガー方程式を導出する。

具体的には、まずアイコナール方程式から波動方程式を導出する方法を示す(逆ではない!)。次に、この方法を用いて、ハミルトン・ヤコビ方程式からシュレーディンガー方程式を導出する。さらに、粒子と波動の両方が存在するというド・ブロイの初期の考え方を用いて、ボルンの統計則を導出する。その後、歴史的には、人々はド・ブロイの考えから粒子(とその軌道)を完全に排除し、ボルンの規則のみを残した(いわゆるコペンハーゲン解釈)ことを示す。

これらの量子力学の基礎の導出は、主題の歴史に正確に従っているわけではない。むしろ、シュレーディンガー方程式を論理的かつ秩序立った方法で提示するために、初期の考えや実験を厳選している。黒体放射や光電効果の代わりに電子銃の実験を用いている。この導出は、混乱し、やや神秘的な量子力学というテーマについて、学部生にさらなる光明と満足をもたらす可能性がある。

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抽出されたキーインサイト

by Lachezar S. ... 場所 arxiv.org 10-08-2024

https://arxiv.org/pdf/2410.03689.pdf
Derivation of Schrodinger's equation from the Hamilton-Jacobi and the Eikonal equations

深掘り質問

量子力学以外の分野においても、古典力学と波動光学の類似性を利用して新たな理論を構築できるだろうか?

古典力学と波動光学の類似性を利用して新たな理論を構築する試みは、量子力学以外にも存在します。例えば、以下のような例が挙げられます。 音響学における音響幾何光学: 音波の波長が、音波が伝播する媒質の特性長と比べて十分に短い場合、音波の伝播は幾何光学的に記述できます。これは、音波が粒子のように直進すると近似できるためです。この類似性を用いて、複雑な形状を持つ空間における音波の伝播を解析することができます。 地震波の伝播解析: 地震波の伝播も、波長が地質構造の特性長と比べて十分に短い場合には、幾何光学的な近似を用いて解析できます。これは、地震波探査などに利用されています。 流体力学における水面波の解析: 水面波の伝播も、波長が水深や水面波の振幅と比べて十分に短い場合には、幾何光学的な近似を用いて解析できます。 これらの例に見られるように、波動現象が観察される多くの物理系において、古典力学と波動光学の類似性を活用して、系の振る舞いを理解し予測することができます。 重要なのは、類似性を利用できる範囲を明確にすることです。波動としての性質が無視できない場合には、幾何光学的な近似は破綻し、より詳細な波動方程式による解析が必要となります。

シュレーディンガー方程式の導出において、波動が粒子の流れとして振る舞うという仮定は、本当に妥当なのだろうか?

シュレーディンガー方程式の導出において、波動が粒子の流れとして振る舞うという仮定は、あくまで古典的な描像と量子的な描像を橋渡しするためのヒューリスティックな議論として用いられています。 実際には、量子力学において粒子は古典力学的な粒子のように明確な軌跡を描きません。粒子の位置と運動量は、ハイゼンベルクの不確定性原理によって制限され、同時に確定することができません。 しかしながら、シュレーディンガー方程式は、電子のエネルギー準位や光のスペクトルなど、様々な実験結果を非常に高い精度で説明できることが分かっています。これは、シュレーディンガー方程式が、ミクロな世界を記述する上で非常に有効な方程式であることを示しています。 つまり、導出過程で用いられる古典的な描像は、直感的な理解を助けるための便宜的なものに過ぎず、量子力学の根本的な理解には、波動関数と確率解釈に基づいた考え方が必要となります。

量子力学の解釈問題について、コペンハーゲン解釈以外の解釈は、現代物理学においてどのような意味を持つだろうか?

コペンハーゲン解釈は、量子力学の標準的な解釈として広く受け入れられていますが、観測問題や波束の収縮など、いくつかの哲学的な問題点を抱えていることも事実です。そのため、コペンハーゲン解釈以外の解釈も、現在も活発に議論されています。 主な代替解釈としては、以下のようなものが挙げられます。 多世界解釈: 観測によって世界が枝分かれし、それぞれの可能性が実現した世界が存在するという解釈です。観測問題を回避できるという利点がありますが、非常に多くの世界が存在するという奇妙な結論を導きます。 パイロット波解釈(ド・ブロイ-ボーム理論): 粒子は常に明確な位置と運動量を持ち、波動関数は粒子の運動を案内する「パイロット波」として機能するという解釈です。古典的な描像に近いイメージですが、非局所的な相互作用を導入する必要があり、相対論との整合性が課題となっています。 一貫性歴史解釈: 量子力学的な過程は、互いに矛盾しない歴史の重ね合わせとして記述されるという解釈です。観測問題を回避できる可能性がありますが、歴史の選択基準が明確でないという問題点があります。 これらの代替解釈は、コペンハーゲン解釈では説明が難しい問題に対して、新たな視点を提供してくれる可能性があります。また、量子力学の基礎に関する議論を深め、より完全な理論の構築を目指す上で重要な役割を果たしています。 しかしながら、現時点では、どの解釈が正しいかという決定的な証拠は得られていません。それぞれの解釈は、それぞれ長所と短所を抱えており、最終的な決着には至っていません。
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