本論文は、佐々木幾何学における極小佐々木計量の存在性に関する研究結果を報告するものです。特に、ベルグランド-ヒュブシュ転置と呼ばれるミラー対称性の手法を用いることで、従来のブリコルフ-ファム多項式やその変形に基づく例とは異なる、より一般的な可逆多項式に基づく新しい例を構築しています。
佐々木幾何学は、奇数次元多様体上に定義される特殊な種類の接触リーマン構造を扱う分野です。佐々木多様体上には、計量の変形空間である佐々木リーブレースと呼ばれる概念が定義され、その上で定義されるカラビ汎関数の臨界点として、極小佐々木計量が定義されます。極小佐々木計量は、佐々木アインシュタイン計量を含む重要な計量クラスであり、その存在性と非存在性は佐々木幾何学における重要な研究課題となっています。
本論文では、ベルグランド-ヒュブシュ転置を用いることで、佐々木リーブレース全体において極小佐々木計量を許容しない佐々木多様体の例を構成しています。具体的には、鎖-サイクル型特異点を持つ可逆多項式から出発し、そのベルグランド-ヒュブシュ転置を考えることで、佐々木リーブレースの次元が大きく、かつ極小佐々木計量を許容しないリンクの例を構成しています。
論文は、以下のセクションから構成されています。
セクション2では、佐々木幾何学、特に佐々木リーブレースと極小佐々木計量に関する基本的な概念を解説しています。また、超曲面特異点のリンクを佐々木多様体の重要な例として取り上げ、その構成方法や性質について詳しく説明しています。
セクション3では、ミラー対称性における重要な概念であるベルグランド-ヒュブシュ転置について解説し、それを佐々木幾何学に応用する方法について説明しています。
セクション4では、本論文の主要な結果である、ベルグランド-ヒュブシュ転置を用いた極小佐々木計量の非存在性に関する定理とその証明を与えています。また、その応用として、佐々木リーブレース全体において極小佐々木計量を許容しない佐々木多様体の具体的な例を構成しています。
本論文は、ベルグランド-ヒュブシュ転置を用いることで、従来のブリコルフ-ファム多項式やその変形に基づく例とは異なる、より一般的な可逆多項式に基づく新しい例を構成した点に新規性があります。また、本論文で得られた結果は、佐々木幾何学における極小佐々木計量の存在性と非存在性に関する研究に新たな知見を与えるとともに、ミラー対称性と佐々木幾何学との関連性を理解する上でも重要な意味を持つと考えられます。
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