本稿は、エルゴード理論におけるシャノン軌道同値性に関する研究論文である。具体的には、普遍オドメーターと様々なランク1システムとの間にシャノン軌道同値性が存在することを示すことを目的とする。
エルゴード理論において、2つの力学系が与えられたとき、それらの軌道の構造がどれだけ似ているかを測る尺度として、軌道同値性が用いられる。シャノン軌道同値性は、軌道同値性を定量化したものであり、2つの力学系の軌道を結びつける写像の複雑さをエントロピーを用いて測ることで定義される。
先行研究であるKerrとLiの研究[KL24]では、任意のオドメーターが普遍オドメーターとシャノン軌道同値であることが示されている。本稿では、この結果をランク1システムに拡張することを目指す。ランク1システムは、オドメーターを一般化したものであり、エルゴード理論において重要な研究対象である。
本稿では、ランク1システムの新しいクラスとして、"フレキシブルクラス"を導入する。フレキシブルクラスは、ある特定の条件を満たすランク1システムの族であり、この条件を満たす限り、構成方法に自由度がある。具体的には、フレキシブルクラスに属するランク1システムは、その構成方法を調整することで、普遍オドメーターとシャノン軌道同値になるようにできる。
本稿の主結果は、任意のフレキシブルクラスに、普遍オドメーターとシャノン軌道同値であるような要素が存在することである。これは、フレキシブルクラスの定義と、KerrとLiの構成方法を応用することで証明される。
本稿では、フレキシブルクラスの例として、以下の4つが挙げられている。
これらの例は、フレキシブルクラスが、様々な力学系を含む、広いクラスであることを示している。
本稿の結果は、シャノン軌道同値性が、力学系の分類において、非常に粗い同値関係であることを示唆している。これは、シャノン軌道同値性が、力学系のエントロピー以外の性質を保存しない可能性を示唆している。
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