Geng, X., Gradinaru, M., & Tindel, S. (2024). A coupling between random walks in random environments and Brox’s diffusion. arXiv preprint arXiv:2410.17776v1.
本研究は、ランダム環境におけるランダムウォークの代表例であるシナイのランダムウォークと、ブラウン環境におけるブラウン運動と見なせるブロックスの拡散との関係を定量的に明らかにすることを目的とする。具体的には、適切にリスケールされたシナイのランダムウォークがブロックスの拡散に弱収束するという先行研究[27]に対し、その収束レートを定量的に評価することを目指す。
本研究では、シナイのランダムウォークとブロックスの拡散の結合を具体的に構成することで、両者の差異を評価する。この結合は、KMT近似定理[21]に基づき、リスケールされたシナイのランダムウォークの増分とブロックスの拡散の駆動項であるブラウン運動を結合させることで実現される。さらに、両過程に対応する偏微分方程式の解を、ラフパス解析の手法を用いて評価することで、所望の収束レートを得る。
本稿では、適切にリスケールされたシナイのランダムウォーク Xδ とブロックスの拡散 Xc の結合を構成し、任意の C3 級関数 h と時間 t ∈ [0, T] に対し、Eω[h(Xc(t))] - Eω[h(Xδ(t))] が δ^(1/17) のオーダーで収束することを示した。ここで、Eω はランダム環境 ω を固定したもとでの期待値を表す。
本研究は、シナイのランダムウォークとブロックスの拡散の収束に関する初めての定量的結果を提供するものである。ただし、本稿で得られた収束レート 1/17 は最適なものではなく、今後の研究により改善される可能性がある。
本研究は、ランダム環境におけるランダムウォークと、その連続極限としての拡散過程との関係をより深く理解する上で重要な貢献を果たすものである。また、本稿で用いられた結合の構成やラフパス解析の手法は、他の確率過程の収束解析にも応用可能であると考えられる。
本稿では、収束レートの導出において、ラフパス解析をブラウン運動のケースに適用しているため、得られた収束レートは最適なものとなっていない。より高次のラフパス展開と制御過程を用いることで、収束レートを 1/4 にまで改善できる可能性があるが、そのためには更なる研究が必要である。また、本稿ではクエンチ型の収束レートを示しているが、アニール型の収束レートを得るためには、ランダムな定数の可積分性に関する更なる解析が必要となる。
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