任意の偶数次元における反対称テンソル場理論の共形不変性

核心概念

論文では、任意の偶数次元における反対称テンソル場理論の共形不変性を、場のビリアルを用いて系統的に解析し、Kalb-RamondゲージテンソルとAvdeev-Chizhov物質テンソルの共形不変性の条件を明らかにしています。

要約

研究論文の概要

書誌情報

Thierry-Mieg, J., & Jarvis, P. (2024). Conformal invariance of antisymmetric tensor field theories in any even dimension. arXiv preprint arXiv:2311.01701v3.

研究目的

本論文は、任意の偶数次元における反対称テンソル場理論の共形不変性を系統的に解析することを目的としています。

方法

JackiwとPiによって定式化された共形場のビリアルを用いて、様々な反対称テンソル場理論の共形不変性を検証しています。

主な結果

• スカラー場とスピノル場は任意の次元で共形不変である。
• ゲージpテンソルは2p+2次元でのみ共形不変である。これは、4次元におけるMaxwell理論と6次元におけるKalb-Ramond 2形式理論を含む。
• Avdeev-Chizhov自己双対テンソルモデルを高次元に拡張した2つの新しいクラスのラグランジアン（対称計量を用いたACクラスと反対称計量を用いたCPクラス）は、どちらも任意の偶数次元で共形不変である。

結論

本研究は、反対称テンソル場理論の共形不変性に関する包括的な解析を提供し、Kalb-RamondゲージテンソルとAvdeev-Chizhov物質テンソルの共形不変性の条件を明らかにしました。特に、任意の偶数次元で共形不変性を示す新しいクラスのラグランジアン（CPモデル）は、標準模型を超対称代数的に拡張する上で重要な役割を果たす可能性があります。

意義

本研究は、超弦理論や超重力理論などの高次元理論における反対称テンソル場の役割を理解する上で重要な貢献を果たしています。特に、CPモデルは、標準模型を超対称代数的に拡張する上で興味深い候補となりえます。

制限と今後の研究

本研究では、自由なテンソル場理論の共形不変性に着目しており、相互作用を含む場合の共形不変性の解析は今後の課題として残されています。また、CPモデルの物理的な含意をより深く探求し、標準模型への応用可能性を検討することも重要です。

統計

4次元における反対称テンソルT[μν]は、6つの独立成分を持つ。
4次元における自己双対テンソルZと反自己双対テンソルZは、それぞれ3つの成分を持つ。
4次元における実Avdeev-Chizhovテンソルは、1つの自由度を持つ。

引用

"In 4 dimensions, these self-dual tensors naturally couple to the chiral Fermions of the standard model."
"The CP model might be a promising candidate to construct an extension of the standard model because in 4 dimensions, self-dual 2-tensors naturally couple to chiral Fermions."

抽出されたキーインサイト

Conformal invariance of antisymmetric tensor field theories in any even dimension

by Jean Thierry... 場所 arxiv.org 11-14-2024

https://arxiv.org/pdf/2311.01701.pdf

深掘り質問

これらの反対称テンソル場理論は、曲がった時空においても共形不変性を保つことができるのか？

曲がった時空における共形不変性は、平坦な時空の場合よりも複雑な問題です。一般的に、平坦な時空で共形不変である理論は、曲がった時空では共形不変性を保てないことが多いです。これは、曲がった時空では共形変換が等長変換とならず、計量テンソルが変換を受けるためです。
しかしながら、論文中ではShapiro(2024)の研究が紹介されており、Avdeev-Chizhov Lagrangianの曲がった時空への拡張が局所的にスケール不変（Weyl共形不変）であることが示されています。これは、少なくとも特定の反対称テンソル場理論において、曲がった時空でも共形不変性の一種が保たれる可能性を示唆しています。
より詳細には、曲がった時空における共形不変性を議論する際には、以下の点が重要となります。

共形結合の導入: 重力場と共形不変性を保つ形で結合するために、Lagrangianに新たな項を追加する必要がある場合があります。
背景計量の役割: 曲がった時空は背景計量によって記述されますが、共形不変性を議論する際には、背景計量の共形変換性も考慮する必要があります。
量子効果: 量子効果によって共形不変性が破れる可能性があり、曲がった時空ではその影響が顕著になる場合があります。
これらの点を踏まえ、個々の反対称テンソル場理論について詳細な解析を行うことで、曲がった時空における共形不変性の有無を判断することができます。

標準模型のフェルミ粒子以外の粒子と相互作用する反対称テンソル場理論は構築できるのか？

はい、標準模型のフェルミ粒子以外と相互作用する反対称テンソル場理論を構築することは可能です。論文中でも、スカラー場やゲージ場と反対称テンソル場との相互作用が議論されています。
具体的には、以下の様な相互作用が考えられます。

スカラー場との相互作用: スカラー場Φと反対称テンソル場Tとの相互作用は、例えば、ΦFμνTμνといった形で表されます。ここで、Fμνはゲージ場の場強度テンソルです。
ゲージ場との相互作用: ゲージ場Aμと反対称テンソル場Tとの相互作用は、例えば、Tμν∂[μAν]といった形で表されます。
重力場との相互作用: 反対称テンソル場は、重力場とも結合することができます。これは、例えば、アインシュタイン・ヒルベルト作用に反対称テンソル場を含む項を追加することで実現できます。
これらの相互作用は、共形不変性を保つように構成することも可能です。ただし、相互作用の具体的な形は、対象とする反対称テンソル場理論や、結合させたい場の種類によって異なります。
さらに、超重力理論や超弦理論などの拡張された理論においては、フェルミ粒子以外の粒子と相互作用する反対称テンソル場が自然に登場することが知られています。

共形不変性は、量子重力理論の構築においてどのような役割を果たすと考えられるのか？

共形不変性は、量子重力理論の構築において重要な役割を果たすと考えられています。
量子重力理論の構築は、現代物理学における最大の課題の一つです。一般相対性理論と量子力学を統一的に記述する理論は未だ存在せず、様々なアプローチが試みられています。その中でも、共形不変性は、量子重力理論の候補となる理論の構築や、その性質を調べる上で重要な役割を果たすと期待されています。
具体的には、共形不変性は以下のような役割を果たすと考えられています。

理論の制限: 共形不変性を要求することで、量子重力理論の候補となる理論を絞り込むことができます。共形不変性は非常に強い対称性であり、これを満たす理論は限られています。
発散の抑制: 共形不変性を持つ理論では、量子効果による発散が抑制される場合があります。これは、量子重力理論における問題の一つである、紫外発散の解決に繋がる可能性があります。
AdS/CFT対応: 共形不変性は、AdS/CFT対応と呼ばれる、重力理論と共形場理論の双対性を理解する上で重要な役割を果たします。AdS/CFT対応は、量子重力理論の性質を調べるための強力なツールとなる可能性を秘めています。
共形不変性を用いた量子重力理論の構築は、現在も活発に研究が進められている分野です。今後、共形不変性に基づいた新たな量子重力理論の登場や、既存の理論への理解が深まることが期待されています。