制限付き超乗法的サブシフトの明示的条件

核心概念

記号力学系におけるサブシフトの成長率が、特定の条件下で、計算可能かつ上下限で制限されることを示し、その条件と結果の関係性を解析している。

要約

研究概要

本論文は、記号力学系におけるサブシフトの成長率に関する研究論文である。特に、禁止因子集合によって定義される言語の成長率について、その性質や計算可能性について考察している。

研究内容

• 論文ではまず、言語 LpA, Fq の成長率 αpLpA, Fqq が、特定の条件下で、計算可能であることを示している。
• その条件とは、禁止因子集合 F とアルファベット A の関係式であり、この条件が満たされる場合、成長率 αpLpA, Fqq は、上下限で制限された形で計算可能となる。
• 論文では、この条件を導出する過程を詳細に説明し、さらに、具体的な例として、p-乗語の回避可能性に関する設定において、より精緻化された結果を提供している。
• また、同様の考え方を F-free な循環語にも適用し、特に、Shur によって提唱された、square-free な循環語の数に関する予想の解決に向けて進展を与えている。

研究の意義

本研究は、記号力学系におけるサブシフトの成長率に関する理解を深め、その計算可能性について新たな知見を提供するものである。特に、禁止因子集合 F とアルファベット A の関係式によって、成長率の計算可能性が左右されるという結果は、今後の記号力学系の研究において重要な意味を持つと考えられる。

統計

アルファベットのサイズが5以上の時、square-free な循環語の数は、square-free な語の数と同じ成長率を持つ。
C の値は、アルファベットのサイズが大きくなるにつれて、1 - 1/(|A| - o(1)) に近づく。

引用

"From computer experiments, we learn that the growth rate for the set of ternary square-free circular words is approximately 1.3."

抽出されたキーインサイト

An explicit condition for boundedly supermultiplicative subshifts

by Vuong Bui, M... 場所 arxiv.org 10-28-2024

https://arxiv.org/pdf/2410.19654.pdf

深掘り質問

アルファベットのサイズが3と4の場合、square-free な循環語の数の成長率はどうなるのか？

論文では、アルファベットのサイズが5以上の場合は、square-free な語の集合とsquare-free な循環語の集合の成長率が一致することを証明しています。これは、十分に長い語において、接頭辞と接尾辞がほぼ独立であるという直感に基づいています。
しかし、アルファベットのサイズが3と4の場合は未解決問題として残されています。

アルファベットのサイズが3の場合: Currieの研究[2]により、長さ5, 7, 9, 10, 14, 17以外のすべての長さのsquare-freeな三元循環語が存在することが証明されています。これらの例外的な長さが存在するため、任意のnに対して|
˝Lnpt0, 1, 2u, 2q| ě C|Lnpt0, 1, 2u, 2q|となるような正の定数Cが存在することは期待できません。論文で用いられた手法を三元語に適用するには、これらの例外的なケースを個別に取り扱う必要があり、コンピュータによる証明が必要となる可能性があります。

アルファベットのサイズが4の場合: 三元語の場合よりも解析が容易かもしれませんが、現時点では明確な結論は得られていません。

本論文で示された条件は、他の記号力学系の問題にも適用できるのか？

論文では、Boundedly supermultiplicative なサブシフトの明示的な条件を提示し、それをsquare-free な語や循環語に応用しています。この手法は、他の記号力学系の問題にも適用できる可能性があります。
例えば、以下のような問題が考えられます。

他のパターン回避問題: square-free な語だけでなく、より一般的なパターンを避ける語の集合についても、同様の手法で成長率を解析できる可能性があります。特に、論文で示された条件を満たすパターンであれば、循環語の場合にも応用できる可能性があります。

高次元サブシフト: 本論文では一次元の語を扱っていますが、二次元以上の高次元サブシフトにも同様の概念を拡張できる可能性があります。高次元サブシフトにおけるパターン回避問題や、その成長率の解析に応用できるかもしれません。

複雑度関数との関連: サブシフトの複雑度関数は、長さnの異なる語の数を表す関数であり、成長率と密接に関係しています。Bounded supermultiplicativityは複雑度関数の増大度を制限するため、複雑度関数の解析にも役立つ可能性があります。

成長率の計算可能性と、そのサブシフトの複雑さには、どのような関係があるのか？

サブシフトの成長率の計算可能性は、そのサブシフトの複雑さと深く関係しています。

成長率が計算可能: サブシフトの構造に関する情報が得やすく、多くの場合、そのサブシフトは比較的単純な構造を持つと考えられます。例えば、有限種類の禁止語を持つサブシフト（sofic subshift）の場合、成長率は遷移行列のスペクトル半径として計算可能です。

成長率が計算不可能: サブシフトは複雑な構造を持つ可能性があり、決定不能な問題を含む可能性があります。例えば、Wang tileと呼ばれるタイルを用いて定義されるWang shiftの中には、成長率が計算不可能なものも存在します。
本論文では、特定の条件を満たすサブシフトの成長率が計算可能であることを示しています。これは、その条件がサブシフトの複雑さを制限することを示唆しており、興味深い結果と言えます。
さらに、成長率と他の複雑さの指標との関係も活発に研究されています。例えば、

位相的エントロピー: 成長率の対数を位相的エントロピーと呼び、これはサブシフトの複雑さを測る重要な指標の一つです。

平均複雑度: 長さnまでの語の数をnで割った値の極限として定義される平均複雑度は、成長率と密接に関係しています。
これらの指標との関係を調べることで、サブシフトの複雑さに対するより深い理解を得ることが期待されます。