有限次元空間とその部分集合間のグロモフ・ハウスドルフ距離が有限となる条件

核心概念

有限次元ユークリッド空間Rnとその部分集合A間のグロモフ・ハウスドルフ距離が有限であるのは、AがRn内のε-netである場合かつその場合に限ります。

要約

参考文献: I. N. Mikhailov, A. A. Tuzhilin. When the Gromov–Hausdorff distance between finite-dimensional space and its subset is finite? arXiv:2411.13539v1 [math.MG] 20 Nov 2024
研究の背景と目的

本論文は、古典的なグロモフ・ハウスドルフ距離の幾何学的性質、特に非有界距離空間における性質を考察しています。
グロモフ・ハウスドルフ距離は、通常、有界な距離空間、主にコンパクトな距離空間に対して用いられます。
非有界な距離空間の場合、この距離は点付きグロモフ・ハウスドルフ収束の定義に用いられますが、対応する距離関数を定義する試みは限られています。
本論文では、非有界な距離空間間の標準的な（点付きではない）グロモフ・ハウスドルフ距離の幾何学的性質について考察を深めます。
主な結果

距離空間Xのε-netは、Xから有限のグロモフ・ハウスドルフ距離にあります。
本論文では、この逆、すなわち、Xから有限のグロモフ・ハウスドルフ距離にあるXの部分集合Yは、あるε > 0に対してX内のε-netであるか、という問題に取り組んでいます。
無限次元ユークリッド空間に対しては、この逆は成り立ちません。
本論文では、有限次元ユークリッド空間に対しては、この逆が成り立つことを証明しています。
証明の概要

証明は、ユークリッドグロモフ・ハウスドルフ距離の古典的なグロモフ・ハウスドルフ距離による上からの評価に基づいています。
この評価は、他の有限次元ノルム空間にはないRnの等長変換群Iso(Rn)の豊富さに基づいています。
この結果を他の有限次元ノルム空間に一般化することは、等長変換群の性質の違いから困難です。
結論

有限次元ユークリッド空間Rnとその部分集合A間のグロモフ・ハウスドルフ距離が有限であるのは、AがRn内のε-netである場合かつその場合に限ります。
この結果は、グロモフ・ハウスドルフ距離の幾何学的性質を理解する上で重要な洞察を提供します。

統計

抽出されたキーインサイト

When the Gromov-Hausdorff distance between finite-dimensional space and its subset is finite?

by I. N. Mikhai... 場所 arxiv.org 11-21-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.13539.pdf

深掘り質問

有限次元ノルム空間以外の距離空間、例えば、リーマン多様体などに対して、同様の結果は成り立つのでしょうか？

有限次元ノルム空間以外の距離空間、例えばリーマン多様体において、部分集合がε-netであることと、全体空間とのグロモフ・ハウスドルフ距離が有限であることの同値性は、一般には成り立ちません。
論文では、有限次元Euclid空間においてこの同値性が成り立つことを証明するために、以下の重要な要素を用いています。

Memoliの定理: 有限次元Euclid空間のグロモフ・ハウスドルフ距離を、古典的なグロモフ・ハウスドルフ距離を用いて上から評価する不等式を提供しています。
Euclid空間の等長変換群の豊富さ: Memoliの定理の証明において重要な役割を果たしており、他の有限次元ノルム空間では、一般に同様の性質は期待できません。
リーマン多様体の場合、曲率の影響により距離構造がEuclid空間とは大きく異なるため、上記のような議論を直接適用することはできません。例えば、コンパクトなリーマン多様体は、それ自身の一つの点とのグロモフ・ハウスドルフ距離が有限になりますが、ε-netになるためには無限個の点が必要となります。
したがって、リーマン多様体などのより一般的な距離空間において、グロモフ・ハウスドルフ距離とε-netの関係を調べるためには、空間の幾何学的構造を考慮したより精緻な議論が必要となります。

本論文の結果は、ε-netの概念とグロモフ・ハウスドルフ距離との間に密接な関係があることを示唆しています。ε-netの他の性質は、グロモフ・ハウスドルフ距離を用いて特徴付けることができるのでしょうか？

おっしゃる通り、本論文の結果はε-netとグロモフ・ハウスドルフ距離の密接な関係を示唆しており、ε-netの他の性質をグロモフ・ハウスドルフ距離を用いて特徴付けることができる可能性はあります。
例えば、以下のような性質が考えられます。

ε-netの稠密性: ε-netが元の空間においてどれくらい稠密かを、グロモフ・ハウスドルフ距離を用いて定量化できる可能性があります。ε-netが稠密であればあるほど、元の空間とのグロモフ・ハウスドルフ距離は小さくなると予想されます。
ε-netの最適性: ある空間に対して、与えられたεに対して最小の点の数を持つε-netを最適なε-netと定義できます。グロモフ・ハウスドルフ距離を用いることで、最適なε-netを特徴付けたり、構成したりするアルゴリズムを開発できる可能性があります。
ε-netの安定性: 元の空間の小さな摂動に対して、ε-netがどれくらい変化するかをグロモフ・ハウスドルフ距離を用いて評価することができます。安定なε-netは、ノイズを含むデータから元の空間の情報を抽出する際に役立ちます。
これらの可能性を探るためには、グロモフ・ハウスドルフ距離の性質や、ε-netの他の概念との関係についての更なる研究が必要です。

本論文では、古典的なグロモフ・ハウスドルフ距離に焦点を当てています。点付きグロモフ・ハウスドルフ距離に対しても、同様の結果は成り立つのでしょうか？

点付きグロモフ・ハウスドルフ距離に対しても、同様の結果は成り立ちません。
古典的なグロモフ・ハウスドルフ距離は、空間全体の近さを測る指標であるのに対し、点付きグロモフ・ハウスドルフ距離は、特定の基点からの距離構造に着目した指標です。
論文の結果は、空間全体が有限のグロモフ・ハウスドルフ距離を持つためには、空間全体を有限の精度でカバーするε-netが存在する必要があることを示しています。
一方、点付きグロモフ・ハウスドルフ距離の場合、基点から無限に離れた部分空間の構造は考慮されません。
したがって、点付きグロモフ・ハウスドルフ距離が有限であっても、空間全体を有限の精度でカバーするε-netは存在するとは限りません。
例えば、原点を中心とする開球と、原点から無限遠方に伸びる直線を考えます。
これらの空間の点付きグロモフ・ハウスドルフ距離は、原点を基点とすると0になりますが、直線はε-netでは覆えません。
このように、点付きグロモフ・ハウスドルフ距離に対しては、論文と同様の結果は成り立ちません。