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結合代数のスキーム


核心概念
この論文では、有限個の単純加群における結合k代数の完備化の定義を用いて、体k上の結合スキーム、結合環のスキームの定義を与える。
要約

この論文は、結合スキーム、結合環のスキームの定義を、体k上、有限個の単純加群における結合k代数の完備化の定義を用いて与えることを目的とする数学論文である。

論文はまず、可換環の通常のスキームの、より弱いが十分な定義を与えることから始まり、これは結合環に一般化できる。

論文では、アフィン スキームを(Spec A, OSpec A)のペアとして定義し、ここで、Spec AはAの素イデアルの集合であり、OSpec AはSpec A上の構造層である。さらに、スキームを、環OSpec Aの層を持つ位相空間Xとして定義し、Xは開部分集合Uの開被覆を持ち、ここで、(U, OX|U) ≃(Spec A, OSpec A)となるような環Aが存在する。

論文では、結合環のスキームを定義するために、局所環Apを、Apの完備化におけるAの像によって生成される部分環である、Aの素イデアルpにおけるHausdorff局所化HA
pに置き換える。これにより、通常のスキームを局所的にHausdorffにすることができ、代数におけるコーシー列の置き換えに便利である。

論文では、結合環Aの右アプリム加群の集合をaSpec(A)と表し、f ∈Aに対してD(f) = {P ∈aSpec(A)|ηA
P (f)は単射}とし、aSpec(A)に準基底{D(f)}f∈Aによって生成される位相を与える。さらに、X = aSpec A上の環OXの層を定義し、結合スキームを、各Aiが結合環であるような開アフィン部分集合X = ∪i∈IaSpec(Ai)の被覆を持つ、環(X, OX)の層を持つ位相空間として定義する。

論文では、結合多様体を、代数的閉体k上の既約な結合スキームとして定義する。

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抽出されたキーインサイト

by Arvid Siqvel... 場所 arxiv.org 10-24-2024

https://arxiv.org/pdf/2410.17703.pdf
Schemes of Associative Algebras

深掘り質問

結合スキームの理論は、非可換代数幾何学の他の分野にどのような影響を与えるだろうか?

結合スキームの理論は、非可換代数幾何学の多くの分野に影響を与える可能性を秘めています。 非可換代数幾何学の新しい視点: 結合スキームは、非可換環を幾何学的に捉えるための新しい枠組みを提供します。これは、非可換環論における多くの問題に新たな光を当てる可能性があります。例えば、表現論、環の分類、K理論などへの応用が期待されます。 他の非可換幾何学との関連: 結合スキームは、非可換代数幾何学の他の分野、例えば非可換アフィン空間や非可換射影空間の理論と密接に関係していると考えられます。これらの分野間の関係を明らかにすることで、非可換代数幾何学全体がより豊かに発展する可能性があります。 新しい不変量の発見: 結合スキームの理論は、非可換環に対して新しい不変量を提供する可能性があります。これらの不変量は、非可換環の構造や性質を理解する上で重要な役割を果たすと期待されます。

結合スキームの定義は、可換環のスキームの定義とどのように違うのだろうか?

結合スキームと可換環のスキームの定義は、局所的な構造をどのように捉えるかという点で大きく異なります。 可換スキーム: 可換環 A に対するスキーム Spec A は、A の素イデアルを点集合とし、それらに Zariski 位相と構造層を導入することで定義されます。構造層は、各開集合に A の局所化を対応させることで構成されます。 結合スキーム: 結合環 A に対する結合スキーム aSpec A は、A の右アプライム加群を点集合とします。右アプライム加群は、単純加群をある環準同型を通じて「引き戻したもの」と理解できます。aSpec A にも Zariski 位相と構造層が導入されますが、構造層は A の完備化を用いて構成されます。これは、結合環では局所化がうまく機能しないためです。 つまり、結合スキームは、局所的な構造を記述するために、可換スキームにおける局所化の代わりに完備化を用いる点が大きな違いと言えるでしょう。

結合スキームの理論は、理論物理学や計算機科学などの他の分野に応用できるだろうか?

結合スキームの理論はまだ発展途上ですが、将来的には理論物理学や計算機科学といった分野にも応用できる可能性があります。 理論物理学: 非可換幾何学は、弦理論や量子重力などの理論物理学の分野で重要な役割を果たしています。特に、非可換空間上の場の量子論や、非可換ゲージ理論などへの応用が期待されます。結合スキームは、これらの理論に新しい視点やツールを提供する可能性があります。 計算機科学: 非可換環論は、符号理論、暗号理論、量子計算など、計算機科学の様々な分野で応用されています。結合スキームは、これらの分野におけるアルゴリズムの設計や解析に役立つ可能性があります。 具体的な応用例はまだ限られていますが、結合スキームの理論が発展していくにつれて、他の分野への応用も開拓されていくと期待されます。
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