複体の厚い埋め込みと粗幾何学、位相的エクスパンダー

核心概念

次数が有界な高次元単体複体の位相的エクスパンダー性を定量化する新しい不変量、位相的オーバーラッププロファイルを導入し、その特性や応用について論じる。

要約

位相的オーバーラッププロファイル：次数が有界な複体の粗幾何学への応用

タイトル：Topological expanders, coarse geometry and thick embeddings of complexes
著者：David Hume (バーミンガム大学)
発表日：2024年11月21日
分野：幾何学的群論、粗幾何学

本論文では、次数が有界な単体複体の位相的エクスパンダー性を定量化するための新しい不変量である「位相的オーバーラッププロファイル」を導入し、その特性や応用について考察する。

抽出されたキーインサイト

Topological expanders, coarse geometry and thick embeddings of complexes

by David Hume 場所 arxiv.org 11-21-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.13294.pdf

深掘り質問

位相的オーバーラッププロファイルは、どのような他の数学的対象の研究に応用できるだろうか？

位相的オーバーラッププロファイルは、高次元エクスパンダーの研究のために導入された比較的新しい概念ですが、その特性から、他の様々な数学的対象の研究にも応用できる可能性があります。

幾何学的群論: 位相的オーバーラッププロファイルは、群のケーリーグラフの幾何学的性質と密接に関係しています。特に、群の非正曲率やKazhdanの性質(T)といった性質を、位相的オーバーラッププロファイルを通して理解できる可能性があります。
粗幾何学: 位相的オーバーラッププロファイルは、距離空間の間の粗写像に関する情報を提供します。これは、粗バウム・コンヌ予想のような、粗幾何学における重要な問題に取り組むための新しいツールとなる可能性があります。
計算トポロジー: 位相的オーバーラッププロファイルは、位相空間の複雑さを測る新しい方法を提供します。これは、データ分析や形状認識といった分野で、位相空間を利用したアルゴリズムの開発に役立つ可能性があります。
力学系: 位相的エントロピーや平均次元といった、力学系の複雑さを測る概念との関連を探ることは興味深い課題です。位相的オーバーラッププロファイルを通して、力学系の新しい不変量を定義できる可能性もあります。

位相的オーバーラッププロファイルの単調性を崩さずに、より弱い条件で定義することは可能だろうか？

位相的オーバーラッププロファイルの単調性は、粗写像による比較を可能にする重要な性質です。しかし、現在の定義では、単調性を保証するために、距離空間に対して一様な連結性などの強い条件を課す必要があります。より弱い条件で単調性を維持できるような、位相的オーバーラッププロファイルの新しい定義を探すことは、重要な課題です。
例えば、以下のようなアプローチが考えられます。

局所的な定義: 現在の定義は、空間全体の大域的な性質を考慮していますが、局所的な情報に基づいた定義を与えることで、より弱い条件で単調性を証明できる可能性があります。
確率論的手法: 確率論的な議論を取り入れることで、平均的な意味での単調性を証明できる場合があります。例えば、ランダムな写像やパーコレーション理論を用いたアプローチが考えられます。
他の不変量との関連: 他の粗幾何学的不変量との関係を探ることで、位相的オーバーラッププロファイルのより深い理解を得ることができ、結果として、より弱い条件での単調性の証明に繋がる可能性があります。

位相的オーバーラッププロファイルと、他のエクスパンダーの構成手法との関連性はあるだろうか？

位相的オーバーラッププロファイルは、高次元エクスパンダーの構成と密接に関係しています。特に、粗構成や厚い埋め込みといった手法との関連は興味深い研究対象です。

ジグザグ積: グラフのエクスパンダーを構成する基本的な手法であるジグザグ積を高次元化し、位相的オーバーラッププロファイルとの関連を調べることは自然な問題設定です。
確率的手法: ランダム行列やランダムグラフを用いた高次元エクスパンダーの構成は、近年活発に研究されています。これらの手法を位相的オーバーラッププロファイルの観点から分析することで、新しい知見が得られる可能性があります。
代数的手法: 群の表現論やエルゴード理論を用いた高次元エクスパンダーの構成は、位相的オーバーラッププロファイルと深い関連を持つ可能性があります。特に、プロパティ(T)を持つ群のケーリーグラフがエクスパンダーとなることとの類似は興味深い点です。
これらの関連性をさらに深く探求することで、高次元エクスパンダーのより統一的な理解が得られると期待されます。