関手は存在しないという注意

核心概念

群の圏や空間の∞圏のような大きく複雑な圏では、小さな圏への関手は自明なものしか存在しない場合が多い。

要約

この論文は、群の圏や空間の∞圏における関手の非存在性について考察しています。

大きな圏から小さな圏への関手

論文ではまず、大きな圏から小さな圏への関手の非存在性について考察しています。

• 強連結で小さな積を持つ圏から小さな圏への関手は、定関手に限られることが示されています。
• この結果から、例えば、群の圏から有限群の圏への関手はすべて定関手であることが導かれます。

恒等関手の部分関手と商関手

次に、群の圏やアーベル群の圏における恒等関手の部分関手と商関手の非存在性について考察しています。

• 群の圏の恒等関手の自明でない部分関手で、アーベル群の圏に値を取るものは存在しないことが示されています。
• また、群の圏の恒等関手の自明でない商関手で、完全群の圏に値を取るものも存在しないことが示されています。

ホモトピー論からの考察

最後に、ホモトピー論における関手の非存在性について考察し、いくつかの未解決問題が提示されています。

• 例えば、空間の∞圏からスペクトルの∞圏への関手Fに対して、恒等関手への自然変換Ω∞FX→Xはすべてヌルホモトピックなのか、という問題が挙げられています。

論文の結論

この論文は、圏論における関手の存在性について新たな知見を提供するものであり、特に、大きな圏から小さな圏への関手や、群の圏や空間の∞圏における関手の非存在性に関する重要な結果を示しています。

統計

κ ≥ max(2κ′,ℵ0) を満たす基数 κ と κ′ に対して、濃度が κ 以下の基点付き集合の圏から濃度が κ′ 以下の基点付き集合の圏への関数はすべて定関手に同型である。

引用

抽出されたキーインサイト

A Note on the Non-Existence of Functors

by Emmanuel Dro... 場所 arxiv.org 11-21-2024

https://arxiv.org/pdf/2306.04432.pdf

深掘り質問

群の圏やアーベル群の圏における関手の非存在性について論じているが、他の圏ではどのような結果が得られるだろうか？

この論文で展開された手法やアイデアは、群やアーベル群の圏に限らず、他の様々な圏における関手の非存在性を示すために応用できる可能性があります。特に、以下の様な圏が考えられます。

環の圏とその変種: 可換環、ネーター環、体など、様々な種類の環の圏において、恒等関手の非自明な部分関手や商関手の非存在性を示せる可能性があります。例えば、任意の環に対して自然にそのイデアルを対応させる関手は存在しないことを示せるかもしれません。
加群の圏: 環R上の加群の圏は、アーベル群の圏の一般化とみなせるため、この論文で用いられた手法を応用しやすいと考えられます。例えば、自由加群でない加群を対応させる恒等関手の非自明な商関手は存在しないことを示せるかもしれません。
位相空間の圏: 位相空間の圏は、群や環の圏とは異なる性質を持つため、新たな手法が必要となる可能性があります。しかし、例えば連結空間やハウスドルフ空間など、特定の条件を満たす位相空間の圏に制限することで、関手の非存在性を示せる可能性があります。
これらの圏における関手の非存在性を示すことで、それぞれの圏における対象の構造や性質に関する理解を深めることができると考えられます。

論文では関手の非存在性を示すことで、ある種の数学的構造の自然な構成が不可能であることを示唆しているが、逆に、関手の存在によってどのような数学的構造の自然な構成が可能になるのだろうか？

関手の存在は、ある圏の対象から別の圏の対象を自然に構成する方法を与えるため、様々な数学的構造の自然な構成を可能にします。

自由対象: 忘却関手の左随伴関手として、様々な圏における自由対象を構成することができます。例えば、集合の圏から群の圏への忘却関手の左随伴関手は、任意の集合から生成される自由群を対応させる関手を与えます。
積や余積: 積や余積は、関手の言葉で自然に定義することができます。積は終対象からの関手の組の極限として、余積は始対象への関手の組の余極限として定義されます。
表現: 群の表現は、群からベクトル空間の自己同型群への関手とみなすことができます。関手の言葉を用いることで、表現の概念を他の圏に一般化することができます。
これらの例は、関手の存在が、様々な数学的構造を統一的に理解し、新たな構造を構築するための強力な道具となることを示しています。

論文で示された関手の非存在性は、計算機科学や物理学など、圏論が応用される他の分野にどのような影響を与えるだろうか？

圏論は計算機科学や物理学においても強力なツールとなっており、関手の非存在性の結果はこれらの分野にも影響を与える可能性があります。

計算機科学: 計算機科学では、データ型やプログラムの構造を表現するために圏論が用いられます。関手の非存在性の結果は、ある種のデータ型間の変換やプログラムの構成が不可能であることを示唆する可能性があります。例えば、ある種の型検査アルゴリズムの設計に制限を与える可能性があります。
物理学: 位相的場の理論などの物理学の一部の分野では、空間や場を表現するために圏論が用いられます。関手の非存在性の結果は、ある種の物理現象を記述するモデルの構成に制限を与える可能性があります。例えば、ある種の対称性を持つ物理理論が存在しないことを示唆する可能性があります。
これらの影響は、具体的な問題設定や関手の非存在性の結果に依存するため、更なる研究が必要です。しかし、関手の非存在性の結果は、計算機科学や物理学における圏論の応用に対して新たな視点を提供する可能性があります。