この論文は、q-Askey スキームにおける直交多項式族を再パラメータ化し、統一的なパラメータを用いて図式化する一連の論文の第 3 弾である。
本論文では、q = 1 の場合、つまり Askey スキームと呼ばれる古典的な直交多項式を扱う。Verde-Star の方法を用いることで、各多項式族を、次数がそれぞれ 2、2、4 の 3 つの多項式列 xk、hk、gk で表現することができる。
xk は、モニックなニュートン多項式 vn(x) のノードを表す。線形演算子 L は、多項式の空間に作用し、Lvn = hnvn + gnvn−1 を満たすように定義される。さらに、Lun = hnun を満たす次数 n のモニック多項式 un(x) を定義する。
この方法を用いることで、Askey スキームに属するほとんどの直交多項式族を統一的に表現することができる。ただし、エルミート多項式はこの枠組みには当てはまらない。
本論文では、各多項式族に対応する xk、hk、gk の具体的な形を提示し、それらが満たすべき制約条件を示している。また、q-Askey スキームから q = 1 の場合への極限移行についても考察している。
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