SL2(Z) の Weil 表現の不変量についての包括的な研究

核心概念

正定値偶格子に付随するベクトル値テータ関数のメタプレクティック群 Mp2(Z) の作用は、Weil 表現によって記述されます。本稿では、この表現の不変量が、5つの基本的な不変量から誘導されることを示します。応用として、特異ウェイトを持つヤコビ形式の簡潔な生成系を与えます。

要約

本稿は、メタプレクティック群 Mp2(Z) の Weil 表現、特にその不変量の構造について詳細に研究したものです。

まず、Weil 表現の基礎となる概念である判別式形式について解説しています。判別式形式とは、有限アーベル群 D と二次形式 q: D → Q/Z の組であり、q から導かれる双線形形式が非退化であるものを指します。判別式形式は、偶格子 L を用いて L'/L と表すことができ、その符号 sign(D) は mod 8 で一意に定まります。

次に、SL2(Z) の Weil 表現 ρD を導入し、群環 C[D] への作用を具体的に記述しています。特に、SL2(Z) の生成元 S と T の作用、および -1 ∈ SL2(Z) の作用について詳しく説明しています。

本稿の主要な結果の一つとして、ρD の不変部分空間 C[D]Γ への射影 invD を構成し、その明示的な公式を導出しています。さらに、C[D]Γ の次元公式も証明しています。

これらの結果を基に、素数レベルの判別式形式に対して、invD の具体的な公式と C[D]Γ の次元を計算しています。特に、奇素数 p と 2 に対する公式をそれぞれ導出し、具体的な判別式形式の例についても計算しています。

さらに、本稿では、 isotropic な部分群 H ⊂ D から誘導される isotropic lift という概念を導入し、その性質について論じています。Isotropic lift を用いることで、基本的な不変量からより複雑な不変量を構成することができます。

本稿の主要な結果の二つ目として、任意の偶な符号を持つ判別式形式 D に対して、C[D]Γ が、5つの基本的な不変量から isotropic lift を使って生成されることを示しています。

最後に、これらの結果の応用として、Weil 表現に対するウェイト 2 のカスプ形式の空間の次元を決定し、格子指数 L と特異ウェイトを持つヤコビ形式の空間の生成元を与えています。

統計

Γ(N) の指数は |Γ(N)\Γ| = N^3 Π_{p|N} (1 − 1/p^2) である。
Γ(N) のカスプの数は |Γ(N)\P| = (N^2/2) Π_{p|N}(1 − 1/p^2) (N ≥ 3 の場合) である。
奇素数 p と判別式形式 pϵn に対して、|I| = p^{n−1} + ϵ(−1/p)^{n/2} p^{(n−2)/2} + 1 (n が偶数のとき) である。
判別式形式 2ϵn
II に対して、|I| = 2^{n−1} + ϵ(−1)^{j/2(n−2)/2} である。

引用

"For some applications it is important to have an explicit description of the invariants of the Weil representation of Mp2(Z)."
"Every discriminant form can be realised as the quotient L′/L where L is an even lattice with dual L′."
"Our main result is the following: Let D be a discriminant form of even signature s, square class x and level pl where p is a prime. Then the invariants of the Weil representation on C[D] are generated by the invariants ↑D
H (ix,s
p ) where H is an isotropic subgroup of D such that H⊥/H is isomorphic to the discriminant form Dx,s
p ."

抽出されたキーインサイト

The invariants of the Weil representation of $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$

by Manu... 場所 arxiv.org 11-14-2024

https://arxiv.org/pdf/2208.01921.pdf

深掘り質問

Weil 表現の不変量の構造は、他のメタプレクティック群に対してどのように一般化できるでしょうか？

Weil 表現は、 $\mathrm{SL}2(\mathbb{Z})$ だけでなく、より一般のメタプレクティック群 $\mathrm{Mp}{2n}(\mathbb{Z})$ に対しても定義されます。本稿で扱われているのは $n=1$ の場合ですが、より高次元のメタプレクティック群に対する Weil 表現の不変量の構造は、より複雑になります。
一般に、高次元のメタプレクティック群に対する Weil 表現の不変量は、以下のような性質を持つと期待されます。

誘導表現: 本稿の結果と同様に、高次元の場合も、より低次元のメタプレクティック群の Weil 表現の不変量から誘導表現を用いて構成できる可能性があります。
保型形式との関係: 高次元のメタプレクティック群の Weil 表現の不変量は、高次元のジーゲルモジュラー形式や、より一般の保型形式と密接な関係を持つと考えられます。
組合せ論的構造: 高次元の場合、不変量の構造は、対応する二次形式の格子や、その双対格子における等方部分群の構造を反映したものになる可能性があります。
高次元のメタプレクティック群に対する Weil 表現の不変量の構造を具体的に決定することは、今後の重要な研究課題と言えるでしょう。

本稿では、正定値偶格子に付随するベクトル値テータ関数を扱っていますが、不定値格子に対しても同様の議論は展開できるでしょうか？

本稿では、正定値偶格子に付随するベクトル値テータ関数の変換則を記述するために Weil 表現が用いられています。不定値格子に対してもベクトル値テータ関数を定義することは可能ですが、その変換則はより複雑になり、正定値の場合のようにモジュラー形式になることはありません。
しかしながら、不定値格子に対しても、その Weil 表現やその不変量を考察することは依然として重要です。例えば、不定値格子に付随するテータ関数は、モジュラー形式ではないものの、擬モジュラー形式と呼ばれる重要なクラスの関数を生成することが知られています。
不定値格子の Weil 表現の不変量の構造は、対応する格子の符号数や、等方部分空間の構造に依存すると考えられます。正定値の場合と同様に、高次元の場合や不定値格子の場合は、より複雑な構造を持つことが予想されます。

Weil 表現の不変量の応用として、他にどのようなものがあるでしょうか？例えば、符号理論や暗号理論への応用は考えられるでしょうか？

Weil 表現の不変量は、以下に示すように、符号理論や暗号理論を含む様々な分野に応用を持つ可能性があります。

符号理論:

格子に基づく符号は、高い誤り訂正能力を持つ符号として知られており、近年注目を集めています。Weil 表現の不変量は、格子に基づく符号の構造を理解し、新しい符号を構成する上で有用なツールとなる可能性があります。
特に、自己双対符号や、より一般に、符号の重み分布の研究に役立つ可能性があります。

暗号理論:

格子に基づく暗号は、量子計算機に対しても安全であると考えられている暗号方式であり、近年活発に研究されています。Weil 表現の不変量は、格子に基づく暗号の安全性を解析する上で、新しい視点を提供する可能性があります。
特に、格子における最短ベクトルの探索問題や、学習問題に対する困難性に関する解析に役立つ可能性があります。

その他:

Weil 表現は、量子力学、特に量子計算の分野においても重要な役割を果たしています。不変量の構造を理解することは、量子計算における新しいアルゴリズムや、量子誤り訂正符号の開発に繋がる可能性があります。
これらの応用は、Weil 表現の不変量が持つ豊かな数学的構造を反映したものであり、今後の研究の進展によって、更なる応用が期待されます。