自由モノイドの射によって誘導されるサブシフトに対する測度転送写像

Q: 測度転送写像の単射性を保証する必要十分条件は何か？

残念ながら、測度転送写像の単射性を保証する簡潔な必要十分条件は、論文中に示されていません。しかし、論文では、単射性を導く十分条件と、単射性を保証しない条件について詳細に議論されています。 単射性を導く十分条件: 定理1.5: 自由モノイドの非消去射 σ : A˚ → B˚ と任意のサブシフト X ⊂ AZ に対して、σ が X のシフト軌道上で単射であれば、測度転送写像 σMX : M(X) → M(σ(X)) は単射である。 系3.9 (参考文献 [3]): σ が X で認識可能であれば、測度転送写像 σMX は単射である。 単射性を保証しない条件: σ が「X の非周期的点に対して認識可能」であるという条件だけでは、一般に、測度転送写像 σMX の単射性は保証されません。 論文では、これらの条件の関係を図1にまとめ、具体例を挙げて詳しく解説しています。

Q: 測度転送写像の単射性が成り立たない場合、プレイメージサブシフト上の測度の構造はどうなるか？

測度転送写像の単射性が成り立たない場合、イメージサブシフト上の測度 μ1 に対して、それを転送して得られるプレイメージサブシフト上の測度 μ は一意に定まりません。つまり、μ1 = σMX (μ) を満たす μ が複数存在する可能性があります。 これは、σ がシフト軌道上で単射ではないために、異なるシフト軌道上の測度が σMX によって同じ測度に写される可能性があるためです。 具体的な測度の構造については、個々の σ と X に依存するため、一般論としては断言できません。しかし、論文中の例2.9や例5.7などを参考に、具体的な σ と X を設定することで、プレイメージサブシフト上の測度の構造を解析できる場合があります。

Q: 測度転送写像の概念は、他の力学系にどのように一般化できるか？

測度転送写像の概念は、自由モノイドの射から誘導されるサブシフト間の写像という特定の状況下で定義されていますが、より一般的な力学系に拡張できる可能性があります。 例えば、以下のような状況が考えられます。 位相空間上の連続写像: コンパクト距離空間上の連続写像 f : X → Y が与えられたとき、f によって誘導される測度転送写像 fM : M(X) → M(Y) を考えることができます。 群作用を持つ空間: 群 G が位相空間 X に作用しているとき、G の射 φ : G → H と H が作用する空間 Y に対して、測度転送写像を定義できる可能性があります。 これらの一般化において、重要なポイントは、元の力学系の構造を保つように測度転送写像を適切に定義することです。例えば、元の力学系がエルゴード性を持つ場合、測度転送写像によってその性質がどのように受け継がれるかを考察する必要があります。 具体的な一般化は、対象とする力学系や写像の性質に依存するため、一概には言えません。しかし、測度論的力学系の研究において、測度転送写像は重要な役割を果たす可能性があります。

核心概念

非消去的なモノイド射によって誘導される測度転送写像は、サブシフトとそのイメージサブシフトの測度錐の間の連続線形写像を定義し、その単射性は、射がサブシフトのシフト軌道上で単射である場合に保証される。

要約