핵심 개념
이 논문에서는 곡면 상의 비등방성 계면 에너지를 가진 상변화 문제를 유한요소법으로 근사하는 방법을 제시한다. 특히 구면 상에서의 얼음 결정 성장을 모델링하는 데 초점을 맞추고 있다.
초록
이 논문은 곡면 상의 상변화 문제, 특히 비등방성 계면 에너지를 가진 경우에 대한 유한요소 근사 방법을 다룬다.
주요 내용은 다음과 같다:
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곡면 상의 상변화 문제를 기술하는 강형식 및 약형식 방정식을 제시한다. 계면 에너지가 공간적으로 불균일하고 비등방성인 경우를 고려한다.
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곡면 상의 비등방성 에너지를 일관되게 정의하는 두 가지 방법을 제안한다. 하나는 3차원 공간의 고정된 비등방성을 곡면의 접평면에 제한하는 것이고, 다른 하나는 한 접평면의 비등방성을 측지선을 따라 다른 접평면으로 이동시키는 것이다.
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비등방성 에너지 밀도가 BGN 형태인 경우, 안정성 및 존재성, 유일성 정리를 증명한다. 장애물 퍼텐셜과 부드러운 퍼텐셜 두 가지 경우를 다룬다.
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다양한 수치 실험을 통해 제안된 방법의 성능을 보인다. 특히 구면 상에서의 얼음 결정 성장 모의실험을 수행한다.
통계
구면 상에서 등방성 에너지 밀도 γ(p) = |p|를 사용한 경우, 시간 t = 10−4, 2 × 10−4, 5 × 10−4, 10−3, 0.01, 1에서의 상분리 패턴을 관찰할 수 있다.
구면 상에서 비등방성 에너지 밀도 (5.1)(a)를 사용한 경우, 시간 t = 2 × 10−4, 5 × 10−4, 10−3, 5 × 10−3, 0.01, 2에서 모서리가 관찰된다.
구면 상에서 비등방성 에너지 밀도 (5.1)(b)를 사용한 경우, 시간 t = 2 × 10−4, 5 × 10−4, 10−3, 5 × 10−3, 0.01, 2에서 계면이 ν = ±e3 방향으로 빠르게 정렬된다.
구면 상에서 비등방성 에너지 밀도 (5.1)(c)를 사용한 경우, 시간 t = 2 × 10−4, 5 × 10−4, 10−3, 5 × 10−3, 0.01, 2에서 ν = ±e3 방향이 상대적으로 비싸므로 피해지는 것을 관찰할 수 있다.