핵심 개념
다변수 다항식 Pd 족의 Mahler 측도를 Dirichlet L-함수의 선형 결합으로 표현할 수 있으며, 이를 통해 Chinburg 추측에 대한 해결책을 제시할 수 있다.
초록
이 논문은 다변수 다항식 Pd 족의 Mahler 측도와 Dirichlet L-함수 사이의 관계를 연구한다.
주요 내용은 다음과 같다:
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Pd 족의 Mahler 측도를 Dirichlet L-함수의 선형 결합으로 표현할 수 있음을 증명한다(Main Theorem 1.4). 이는 Pd 족이 Chinburg 추측에 대한 해결책을 제공할 수 있음을 시사한다.
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Pd 족의 Mahler 측도를 이용하여 Chinburg 추측의 실수 원시 홀수 Dirichlet 문자에 대한 해결책을 제시한다(Table 3).
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Pd 족의 Mahler 측도를 통해 Chinburg 추측을 모든 원시 홀수 Dirichlet 문자로 일반화하는 새로운 추측을 제안한다(Conjecture 1.9, Table 4).
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Pd 족의 Mahler 측도와 Dirichlet L-함수 사이의 관계에 대한 추가적인 통찰과 잠재적인 결과를 제시한다.
통계
Pd(x, y) = Σ_{0≤i+j≤d} x^i y^j
2πm(Pd) = (1/(d+1))S_{d+2} - (1/(d+2))S_{d+1}
S_d = 3 Σ_{1≤k≤d-1} (d-2k)D(e^{2πik/d})
인용구
"The Mahler measure is a height function that quantifies the complexity of (Laurent) polynomials."
"Mahler proved that the above integral always exists. For univariate cases, Jensen's equality [23] gives a closed formula for the Mahler measure. However, in multivariate cases, there is no general closed formula for computing the Mahler measure."
"Boyd [9] investigated sequences of multivariate Mahler measures and their limits to address Lehmer's famous conjecture, [30], regarding a universal (positive) lower bound for the logarithmic Mahler measures of integral polynomials."