핵심 개념
본 논문에서는 미시적 좌표의 부분적인 힘 계산만을 사용하여 거시적 관측 가능량의 역학을 학습하는 새로운 방법을 제안합니다.
초록
부분적인 미시적 관찰을 통한 거시적 역학 학습
본 연구는 미시적 시스템의 모든 좌표에 대한 힘 계산 없이, 부분적인 미시적 관찰만을 사용하여 거시적 역학을 학습하는 것을 목표로 합니다.
본 연구에서는 희소성 가정에 기반한 새로운 방법을 제안합니다. 즉, 각 미시적 좌표에 대한 힘은 적은 수의 다른 좌표에만 의존한다고 가정합니다. 이 방법의 핵심 아이디어는 거시적 좌표에 대한 학습 절차를 미시적 좌표로 매핑하는 것입니다. 이를 통해 부분적인 힘 계산을 확률적 추정으로 사용하여 모델 매개변수를 업데이트할 수 있습니다.
Autoencoder를 이용한 Closure Modeling
거시적 관측 가능량 z˚ = φ˚(x)에 대한 Closure ˆz = ˆφ(x)를 찾기 위해 Autoencoder를 사용합니다.
Encoder는 φ = (φ˚, ˆφ), Decoder는 ψ로 표기합니다.
Reconstruction loss와 condition number에 대한 제약 조건을 통해 Autoencoder를 학습시킵니다.
Decoder ψ는 Closure 변수를 찾는 데 도움을 주며, 이후 거시적 역학 식별에는 사용되지 않습니다.
거시적 역학 식별
거시적 역학이 Closed System이라면, 식 (8)의 우변은 z에만 의존하게 됩니다. 이를 신경망 gθ(z) ≈ φ'(x)f(x)를 사용하여 매개변수화합니다.
거시적 좌표에 대한 손실 함수 Lz를 정의합니다.
Lz는 φ'(x)f(x)라는 행렬-벡터 곱을 포함하고 있어, 부분적인 미시적 힘만으로는 정확한 계산이 어렵습니다.
이를 해결하기 위해 손실 함수를 미시적 좌표로 다시 매핑하는 Lx를 제안합니다.
정리 1에 따라 Lx를 최소화하면 Lz의 범위를 좁힐 수 있습니다.
Lx에서 부분적인 힘을 사용하기 위해 Lx,p를 정의합니다.
Lx,p는 부분적인 힘을 사용한 확률적 추정으로 모델 매개변수를 업데이트할 수 있도록 합니다.
정리 2는 Lx,p를 사용하여 찾은 최적 매개변수에서의 기대 위험 ˜L(θ^(K,p))이 K가 무한대로 갈수록 최적 기대 위험 ˜L(θ^*)으로 수렴함을 보여줍니다.