핵심 개념
실수값 랜덤 상태와 복소수값 랜덤 상태는 많은 수의 복사본을 사용하지 않는 한 효율적으로 구별될 수 없다.
초록
본 논문에서는 Haar 랜덤 직교 행렬로 켤레 변환된 실수값 양자 상태와 복소수값 양자 상태의 모멘트 연산자 간의 트레이스 거리를 계산하여 두 상태를 효율적으로 구별할 수 없음을 보여준다.
주요 내용
- Haar 랜덤 실수값 상태와 복소수값 상태의 모멘트 연산자 간의 트레이스 거리는 $1 - \prod_{j=1}^{t-1} \frac{d+j}{d+2j}$ 이다. 여기서 $t$는 복사본의 수이고 $d$는 힐베르트 공간의 차원이다.
- $t < \sqrt{d}$ 이면 트레이스 거리는 $\Theta(t^2/d)$ 로 스케일링된다. 즉, 랜덤 실수값 상태와 복소수값 상태를 구별하기 위해서는 $\Omega(\sqrt{d})$ 개의 복사본이 필요하다.
- 특정 상태를 직교 행렬로 트위럴링하면 정확한 $t=3$ 디자인을 얻을 수 있지만, $t>3$ 에 대해서는 동일한 결과를 얻을 수 없다.
중요성
본 연구는 랜덤 양자 상태의 특성 및 이를 구별하는 데 필요한 리소스에 대한 이해를 넓혀준다. 이는 양자 정보 이론, 특히 랜덤화 벤치마킹, 양자 혼돈, 변분 양자 기계 학습 분석과 같은 분야에서 중요한 의미를 갖는다.
한계점 및 향후 연구 방향
본 연구에서는 $t>3$ 에 대해 직교 행렬로 트위럴링된 상태가 Haar 측정을 얼마나 잘 근사하는지에 대한 질문을 남긴다. 향후 연구에서는 이러한 근사치를 정량화하고 더 높은 $t$ 값에 대한 트위럴링된 상태의 특성을 탐구할 수 있다.
통계
$t < \sqrt{d}$ 이면 실수값 랜덤 상태와 복소수값 랜덤 상태의 모멘트 연산자 간의 트레이스 거리는 $\Theta(t^2/d)$ 로 스케일링된다.
특정 상태를 직교 행렬로 트위럴링하면 정확한 $t=3$ 디자인을 얻을 수 있다.
$t>3$ 에 대해서는 직교 행렬로 트위럴링하여 정확한 $t$ 디자인을 얻을 수 없다.
인용구
"This implies that any protocol to distinguish random real-valued states from complex values states must use $t = \Omega(\sqrt{d})$ samples."
"There exist states $|ψ⟩∈C^d$ such that $\int_{O(d)}(O |ψ⟩⟨ψ| O^T)^{⊗3}dµ_O(O)$ forms an exact state 3-design."
"The same is not possible for any $t > 3$."