핵심 개념
유리 측도 변형을 통해 원래의 직교 다항식과 변형된 직교 다항식 간의 연결 계수를 효율적으로 계산할 수 있는 알고리즘을 제시한다.
초록
이 논문은 직교 다항식의 유리 측도 변형에 대한 효율적인 알고리즘을 제안한다. 주요 내용은 다음과 같다:
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원래의 직교 다항식 P(x)와 변형된 직교 다항식 Q(x) 사이의 연결 계수를 계산하는 문제를 다룬다. 이는 무한 차원 대역 행렬 분해를 통해 해결할 수 있다.
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다항식 측도 변형과 유리 측도 변형에 대한 다양한 행렬 분해 방법을 제시한다. 이를 통해 변형된 Jacobi 행렬을 선형 복잡도로 계산할 수 있다.
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변형된 고전 직교 다항식을 지원하는 대역 미분 행렬을 구성하여, 희소 스펙트럼 방법을 적용할 수 있게 한다.
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다양한 응용 사례와 수치 실험 결과를 제시한다.
통계
직교 다항식 P(x)와 Q(x) 사이의 연결 계수는 r(XP)의 Cholesky 분해로 계산할 수 있다.
다항식 u(x)에 대해
√
u(XP)의 QR 분해로 연결 계수를 계산할 수 있다.
다항식 v(x)에 대해 v(XP)의 역 Cholesky 분해로 연결 계수를 계산할 수 있다.
일반적인 유리 함수 r(x) = u(x)/v(x)에 대해 V = QL 또는 V = L⊤L 분해를 이용하여 연결 계수를 계산할 수 있다.
인용구
"r(XP)은 대칭 양의 정부호 연산자이다."
"D(α+λ(α),β+1)
(α,β)
는 엄격한 상삼각 행렬이며, 최대 deg(uλ(α)) + 1의 상대역폭을 가진다."