핵심 개념
일반화된 호프스태터 함수 Fk 계열은 k에 따라 점진적으로 증가하는 순서를 가진다.
초록
이 논문에서는 호프스태터의 G 함수를 일반화한 함수 Fk를 연구한다. Fk는 n-Fk(Fk(n-1))과 같이 재귀적으로 정의되며, k는 중첩 호출의 깊이를 나타낸다.
주요 결과는 다음과 같다:
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Fk 계열은 점진적으로 증가하는 순서를 가진다. 즉, 모든 k와 n에 대해 Fk(n) ≤ Fk+1(n)이 성립한다.
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Fk와 무한 형태 단어 xk 사이에 밀접한 관계가 있음을 보였다. xk는 k-알파벳 위에 정의된 고정점 단어로, Fk의 값과 xk의 길이 사이에 갈로아 연결이 성립한다.
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xk에 대한 다양한 성질을 증명했다. 예를 들어 xk의 접두사 길이와 특정 문자의 개수 등에 대한 결과를 제시했다.
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Fk의 극한 값과 xk의 문자 빈도 사이의 관계를 밝혔다.
이러한 결과들은 일반화된 호프스태터 함수의 구조와 성질을 깊이 있게 이해하는 데 기여한다.
통계
Fk(1) = Fk(2) = 1
모든 n ≥ 1에 대해 Fk(n) ≥ 1
모든 n ≥ 2에 대해 Fk(n) < n
모든 n > 0에 대해 ∂Fk(n) = 1 - ∂Fk^k(n-1)
∂Fj^k(n) ∈ {0, 1} for all n ≥ 0
Fk는 단조 증가하고 전사적이지만 일대일이 아님
인용구
"Hofstadter's G function is recursively defined via G(0) = 0 and then G(n) = n−G(G(n−1))."
"Following Hofstadter, a family (Fk) of similar functions is obtained by varying the number k of nested recursive calls in this equation."
"We establish here that this family is ordered pointwise: for all k and n, Fk(n) ≤Fk+1(n)."