핵심 개념
임의의 Erdős-Rényi 랜덤 그래프를 사용하여 그래프 임베딩 문제와 공통 부분 그래프 문제를 연구하였으며, 그래프 크기가 무한대로 갈 때 특정 조건 하에서 상 전이 현상이 나타남을 보였다.
초록
이 논문에서는 두 가지 문제를 다룬다:
- 그래프 임베딩 문제: G(m, p) 그래프가 독립적인 G(n, 1/2) 그래프의 유도 부그래프로 나타날 수 있는지 여부
- 공통 부분 그래프 문제: 두 독립적인 G(n, p), G(n, q) 그래프에 공통으로 포함되는 크기 m의 유도 부그래프가 존재하는지 여부
저자들은 이 두 문제에 대해 그래프 크기 n이 무한대로 갈 때 상 전이 현상이 나타남을 보였다. 즉, 특정 조건에서 임베딩 또는 공통 부분 그래프가 존재할 확률이 0에서 1로 급격히 변화한다. 이는 계산 복잡도 관점에서 문제 해결의 어려움이 달라지는 것을 의미한다.
저자들의 접근법은 주로 조합론적이며, 이를 통해 추가적인 관련 문제들을 탐구할 수 있는 기반을 마련하였다.
통계
그래프 G(V, p)는 정점 집합 V에서 각 간선이 확률 p로 독립적으로 존재하는 랜덤 무향 그래프이다.
G(∞, 1/2)는 자동동형사상을 제외하면 유일한 그래프로, Rado 그래프 또는 Universal 그래프로 알려져 있다.
임의의 유한 또는 가산 무한 그래프는 Rado 그래프에 유도 부그래프로 포함될 수 있다.
인용구
"R can be constructed in many ways. Here is one."
"The key property of R = (V(R), E(R)) is the following. Given finitely many distinct vertices u1, ..., um, v1, ..., vn ∈ V(R), there is z ∈ E(R) such that z is adjacent to u1, ..., um and nonadjacent to v1, ..., vn."