핵심 개념
가중 함수 공간에서 정의된 Koopman 연산자와 Zubov-Koopman 연산자를 데이터 기반으로 학습하여, 전역적 및 국소적 점근적 안정성을 가진 비선형 동역학 시스템의 Lyapunov 함수와 Zubov 함수를 추정할 수 있다.
초록
이 논문에서는 비선형 동역학 시스템의 Koopman 연산자와 Zubov-Koopman 연산자를 가중 연속 함수 공간과 가중 재생 커널 힐버트 공간(RKHS)에서 정의하고 학습하는 방법을 제안한다. 가중 함수는 사전에 알려진 동역학의 수렴 속도를 나타낸다. 이를 통해 학습된 Koopman 연산자와 Zubov-Koopman 연산자는 수축성을 보장받게 되며, 이를 활용하여 전역적 및 국소적 점근적 안정성을 가진 비선형 시스템의 Lyapunov 함수와 Zubov 함수를 추정할 수 있다. 추정 오차에 대한 확률적 상한을 유도하였다.
구체적으로:
- 가중 연속 함수 공간과 가중 RKHS를 정의하고, 이 공간에서 Koopman 연산자와 Zubov-Koopman 연산자를 정의하였다. 가중 함수 w가 지수적으로 감소하거나 지수적 인자로 보상되는 경우, Koopman 연산자와 Zubov-Koopman 연산자가 수축성을 가짐을 보였다.
- 가중 RKHS에서 학습된 Koopman 연산자와 Zubov-Koopman 연산자의 일반화 오차에 대한 확률적 상한을 유도하였다.
- 이를 바탕으로 전역적 및 국소적 점근적 안정성을 가진 비선형 시스템의 Lyapunov 함수와 Zubov 함수를 추정하는 방법을 제안하고, 추정 오차에 대한 확률적 상한을 유도하였다.
- 수치 예제를 통해 제안된 방법의 성능을 확인하였다.
통계
전역적 점근적 안정성을 가진 시스템의 Lyapunov 함수 추정 오차의 상한은 2¯α(1 −¯α2)−2∥Q∥ρw( ˆA)1/2이다.
국소적 점근적 안정성을 가진 시스템의 Zubov 함수 추정 오차의 상한은 t¯αt−1ρw( ˆZ)1/2cνς−1이다.
인용구
"가중 연속 함수 공간과 가중 RKHS를 정의하고, 이 공간에서 Koopman 연산자와 Zubov-Koopman 연산자를 정의하였다."
"가중 함수 w가 지수적으로 감소하거나 지수적 인자로 보상되는 경우, Koopman 연산자와 Zubov-Koopman 연산자가 수축성을 가짐을 보였다."
"이를 바탕으로 전역적 및 국소적 점근적 안정성을 가진 비선형 시스템의 Lyapunov 함수와 Zubov 함수를 추정하는 방법을 제안하고, 추정 오차에 대한 확률적 상한을 유도하였다."