핵심 개념
이 논문에서는 완전 리만 다양체 상의 0차 의사 미분 연산자에 대한 간단화된(거친) 버전의 의사 미분 계산을 소개한다. 이 계산은 H¨ormander의 (1, 0) 클래스의 연산자뿐만 아니라 필터링된 다양체 상의 의사 미분 연산자에도 적용된다. 실제로 우리는 이를 더 일반적인 클래스의 다양체, 즉 접선 Lie 구조를 가진 다양체에 대한 거친 PDO 계산으로 발전시킨다. 우리는 '초타원' 연산자에 대한 지수 정리를 증명하는데, 여기서 지수는 단순한 정수가 아니라 다양체의 K-호몰로지 군의 원소이다.
초록
이 논문은 완전 리만 다양체 상의 의사 미분(PDO) 계산에 대한 거친 접근법을 제시한다. 지수 이론의 상당 부분은 단지 compact 연산자에 대한 PDO 계산만을 사용한다. 제안된 거친 PDO 계산은 매우 정교한 해석적 도구를 필요로 하지 않는 지수 이론 문제를 다룰 수 있게 해준다.
이 접근법은 기존의 PDO 계산을 대체하는 것이 아니라 그것과 병행하여 사용되며, 여러 가지 면에서 단순화된다.
특히 접선 Lie 구조를 가진 다양체에 대한 거친 PDO 계산을 확장한다. 이는 각 접선 벡터 공간 Tx(X)에 Lie 대수 구조가 있고, 이 Lie 대수들이 x ∈X에 따라 부드럽게 변화한다는 것을 의미한다. 이 경우 국소적으로 x ∈X에서 포위 대수가 미분 계산에 관여하게 된다.
이 논문에서는 0차 의사 미분 연산자만을 정의하고 기존의 타원형 연산자에 대한 K-이론적 지수 정리를 일반화하는 지수 정리를 증명한다. 미분 연산자와 그 준역함수는 이 일반적인 설정에서 다루어지지 않는다(7절 제외).
통계
접선 Lie 구조를 가진 다양체에서 0차 의사 미분 연산자를 정의하고 지수 정리를 증명한다.
이 지수는 단순한 정수가 아니라 다양체의 K-호몰로지 군의 원소이다.
거친 PDO 계산은 기존의 PDO 계산을 단순화하며, KK-이론과 자연스럽게 관련된다.
인용구
"이 접근법은 미분 연산자와 그 준역함수를 다루는 데 편리하지 않다. 따라서 가장 좋은 옵션은 고전적인 접근법과 거친 접근법을 함께 사용하는 것이다."
"지수 이론은 보통 '타원형 연산자'라고 불리는 어떤 종류의 유계('0차') 연산자, 즉 어떤 종류의 '음의 차수' 연산자에 대해 역가능한 연산자에 관심을 가진다."