핵심 개념
0 ≤ p < 1 인 경우, 용량, 비틀림 강성, 라플라스 연산자의 첫 번째 고유값과 같은 변분 기능들에 대한 Lp-Brunn-Minkowski 부등식의 무한소 형태가 연구되었다. 이러한 공식화는 이러한 기능들과 관련된 Poincaré 형태의 부등식을 산출한다.
초록
이 논문에서는 0 ≤ p < 1인 경우 변분 기능들에 대한 Lp-Brunn-Minkowski 부등식의 무한소 형태를 도출했다.
먼저 1 < q < n인 경우 q-용량, 비틀림 강성, 첫 번째 고유값에 대한 첫 번째 및 두 번째 변분 공식을 유도했다.
이를 바탕으로 단위 구에 대한 작은 C2 섭동에서 0 ≤ p < 1인 경우 비틀림 강성에 대한 국소 Lp-Brunn-Minkowski 부등식을 확인했다.
통계
용량 Cq(Ω)는 q-Laplace 방정식의 해 U를 이용해 q-1/(n-q) 배로 표현할 수 있다.
비틀림 강성 T(Ω)는 Laplace 방정식의 해 U를 이용해 1/(n+2) 배로 표현할 수 있다.
첫 번째 고유값 λ(Ω)는 Laplace 방정식의 해 U를 이용해 1/2 배로 표현할 수 있다.
인용구
"∇˙U(X) :=
lim
Y →X,Y ∈Γ(X) ∇˙U(Y ) exists for every Y ∈∂Ωt,
and
Z
∂Ωt
|∇U|q−1|∇˙U|dHn−1 < ∞."
"∇· ((q −2)|∇U|q−4(∇U · ∇˙U)∇U + |∇U|q−2∇˙U) = 0,
X ∈Rn\¯Ωt,
˙U(X, t) = |∇U(X, t)|h
′
t,
X ∈∂Ωt."