과도 탄성: 틱소트로피, 고분자 및 과립 매질을 위한 통합 프레임워크 - 흐름 현상에 대한 새로운 시각 제시

핵심 개념

본 논문에서는 고체와 유체 역학을 연결하는 구성 모델인 과도 탄성(transient elasticity)을 기반으로 하는 유체역학 모델인 HoTE(hydrodynamics of transient elasticity)를 제시하고, 이를 통해 틱소트로피, 고분자, 과립 매질과 같은 다양한 시스템의 유동 현상을 설명하고자 합니다.

초록

서론

본 논문은 틱소트로피 유체와 항복 응력 유체를 중심으로 고체 및 유체 역학을 아우르는 구성 모델인 과도 탄성(transient elasticity)에 기반한 유체역학 모델인 HoTE(hydrodynamics of transient elasticity)를 소개합니다. HoTE는 탄성 변형의 완화를 허용하면서 에너지 보존 및 엔트로피 생성을 고려하여 고분자 용액, 과립 매질, 점토, 불포화 토양의 수분 보유력, 틱소트로피 및 항복 응력 유체를 포함한 다양한 시스템에 대한 프레임워크를 제공합니다.

기존 연구를 통해 HoTE가 고분자 용액 및 과립 현상을 성공적으로 설명하는 데 적용되었음을 보여주었으며, 최근 연구에서는 점토에 대한 현실적인 HoTE 설명을 제공하는 Terracotta라는 모델을 제시했습니다. 본 논문에서는 틱소트로피 및 항복 응력 유체를 포함하여 HoTE가 다양한 시스템에 적용될 수 있음을 보여줍니다.

HoTE의 주요 개념

HoTE는 에너지 보존 및 열역학 원칙을 준수하는 구성 모델로, 시스템의 상태 변수를 사용하여 에너지를 함수로 나타내고, 엔트로피 및 엔트로피 생성을 고려하여 선형 힘-유속 관계의 Onsager 상호 원리를 따릅니다.

HoTE의 핵심은 탄성 변형 εe_ij를 상태 변수로 추가하고, 이완 시간 τ를 도입하여 고체 및 유체 역학을 연결하는 것입니다. τ = ∞이면 HoTE는 고체 역학 표현식이 되고, τ = 0이면 유체 역학으로 감소합니다.

틱소트로피 및 항복 응력을 설명하기 위해 HoTE는 두 번째 온도인 메조 온도(Tm)를 도입합니다. 메조 온도는 이온 또는 입자와 같이 명확하게 정의된 개체는 아니지만, 구조의 무작위 운동 에너지를 정량화할 수 있습니다. 틱소트로피 유체에서 탄성은 메조 구조에 의해 유지되며, Tm으로 정량화되는 무작위 운동은 얽힘을 느슨하게 합니다. 따라서 탄성 변형은 Tm ≠ 0일 때만 완화됩니다.

HoTE를 이용한 유동 현상 설명

1. 속도 제어 실험

HoTE는 1/τ = const, 1/τ = λ1Tm, 1/τ = λ2T^2_m의 세 가지 다른 τ를 고려하여 다양한 유동 현상을 설명합니다. 1/τ = const는 고분자에 적합하며, 1/τ = λ1Tm은 많은 틱소트로피 유체에 적합한 선택이며, 점토 및 과립 매질에서도 사용됩니다. 1/τ = λ2T^2_m은 낮은 전단 속도에서 뉴턴 점도를 모방합니다.

2. 응력 제어 실험

HoTE는 정지 상태에서 임의의 높은 응력을 견딜 수 없는 고체 시스템의 특성을 설명하기 위해 항복 응력(σy)을 도입합니다. 항복은 평형 상태에서 시작되므로 σy 값은 에너지 w에 인코딩됩니다. 탄성 변형에 대한 에너지 w가 볼록하면 탄성이 안정적이고, w가 오목하게 바뀌는 변곡점에서 항복이 발생합니다.

3. 점도 분기

틱소트로피 유체는 주어진 응력에서 두 가지 안정 상태, 즉 정지 상태의 응력 평형(σ = σe < σy, Tm, ˙γ = 0)과 임계 상태(σ = σc = Kεc + η ˙γ, Tm = ˙γ)로 완화될 수 있습니다. 이러한 현상을 점도 분기라고 합니다.

결론

HoTE는 탄성 변형, 메조 온도 및 이완 시간을 고려하여 틱소트로피, 고분자 및 과립 매질을 포함한 다양한 시스템의 유동 현상을 성공적으로 설명할 수 있는 통합 프레임워크를 제공합니다. HoTE는 기존의 구성 모델보다 물리적으로 더 타당한 설명을 제공하며, 다양한 유동 현상에 대한 이해를 높이는 데 기여할 수 있습니다.

통계

Kεc1 = 10 Pa
η ˆ=η∞= 0.05 Pa·s
Kεc2/˙γ ˆ=η0 = 10^6 Pa·s
λ1 ≪ 1
λ2 ˙γ ≪ 1
K = 10^7 Pa
εc1 = λ1/4 = 10^-6
εc2/˙γ = λ2/4 = 10^-1 s
T0 = 10^-5/s

인용구

"Solid-dynamics with an elastic strain that is allowed to relax is a constitutive model that interpolates between solid- and fluid-dynamics."
"The model is named hydrodynamics of transient elasticity, or HoTE."
"The existence of a framework for systems as diverse and disparate as the above list seems improbable."
"In condensed matter physics, the term hydrodynamic theory often goes beyond Newtonian fluids."
"A hydrodynamic theory is a set of partial differential equations for the energy and its state variables, with two parts: structure and constitutive choices."

핵심 통찰 요약

Transient Elasticity -- A Unifying Framework for Thixotropy, Polymers, and Granular Media

by Mario Liu 게시일 arxiv.org 11-01-2024

https://arxiv.org/pdf/2410.23921.pdf

더 깊은 질문

HoTE 모델을 사용하여 다른 유체 시스템의 유동 현상을 설명할 수 있을까요? 예를 들어, 생체 유체 또는 복잡 유체의 거동을 설명하는 데 HoTE를 적용할 수 있을까요?

HoTE 모델은 틱소트로피, 고분자, 과립 매체와 같이 탄성과 점성을 동시에 지니는 물질을 설명하는 데 유용한 프레임워크입니다. 생체 유체나 복잡 유체 또한 탄성과 점성을 지니는 경우가 많기 때문에, HoTE 모델을 적용하여 그 거동을 설명할 수 있는 가능성은 충분합니다.
생체 유체: 혈액, 점액, 세포질과 같은 생체 유체는 그 복잡한 구성으로 인해 다양한 유동 현상을 보입니다. 예를 들어, 혈액은 적혈구, 백혈구, 혈장 등 다양한 세포 및 단백질로 구성되어 혈관 내에서 복잡한 유동 특성을 나타냅니다. HoTE 모델을 적용한다면, 혈액의 탄성은 적혈구의 변형 및 응집, 혈장 내 단백질의 네트워크 형성 등으로 설명될 수 있으며, meso-scale 구조 변화를 통해 혈액의 틱소트로피 특성을 설명할 수 있을 것입니다. 점액 또한 뮤신과 같은 고분자의 네트워크 구조로 인해 탄성과 점성을 동시에 지니며, HoTE 모델을 통해 점액의 유동 특성을 설명하려는 시도가 이루어지고 있습니다.
복잡 유체: 콜로이드, 에멀젼, 현탁액과 같은 복잡 유체는 마이크로 또는 나노 크기 입자들의 분산 및 상호 작용으로 인해 탄성과 점성을 지니는 경우가 많습니다. HoTE 모델을 적용한다면, 복잡 유체의 탄성은 입자 간의 상호 작용 (예: 정전기적 상호 작용, 반 데르 발스 힘) 및 입자의 브라운 운동으로 설명될 수 있습니다. 또한, 입자의 응집 및 분산과 같은 meso-scale 구조 변화를 통해 틱소트로피, 항복 응력 등 복잡 유체의 유변학적 특성을 설명할 수 있을 것입니다.
그러나 HoTE 모델을 생체 유체나 복잡 유체에 적용하기 위해서는 몇 가지 고려 사항이 있습니다.

구성 방정식: HoTE 모델의 핵심은 탄성 변형의 완화를 기술하는 구성 방정식에 있습니다. 생체 유체나 복잡 유체의 경우, 그 구성 성분 및 미세 구조가 매우 다양하기 때문에, 이를 반영하는 적절한 구성 방정식을 유도해야 합니다.
Meso-scale 구조: HoTE 모델에서 meso-temperature는 meso-scale 구조의 변화를 나타내는 중요한 변수입니다. 생체 유체나 복잡 유체의 경우, meso-scale 구조가 매우 복잡하고 다양하기 때문에, 이를 정확하게 정의하고 모델에 반영하는 것이 중요합니다.
비선형성: 생체 유체나 복잡 유체는 일반적으로 높은 농도, 강한 상호 작용, 큰 변형 등으로 인해 비선형적인 거동을 보입니다. 따라서 HoTE 모델을 적용할 때, 이러한 비선형성을 적절하게 고려해야 합니다.
결론적으로, HoTE 모델은 생체 유체 또는 복잡 유체의 유동 현상을 설명하는 데 유용하게 활용될 수 있는 잠재력을 지니고 있습니다. 하지만 실제 적용을 위해서는 위에서 언급한 고려 사항들을 바탕으로 모델을 더욱 발전시키고, 실험 데이터를 통해 검증하는 과정이 필요합니다.

HoTE 모델은 탄성 변형의 완화를 가정하지만, 실제 유체에서는 탄성 변형이 완전히 사라지지 않고 일부 유지될 수 있습니다. 이러한 경우 HoTE 모델을 어떻게 수정해야 할까요?

HoTE 모델은 탄성 변형이 시간이 지남에 따라 완전히 완화된다는 가정을 기반으로 합니다. 하지만 실제 유체에서는 탄성 변형이 완전히 사라지지 않고 일부 유지되는 경우가 존재합니다. 이는 유체 내부 구조의 변형이 완전히 복원되지 않고 일부 영구적인 변형을 남기기 때문입니다. 이러한 현상을 설명하기 위해 HoTE 모델을 수정하는 방법은 다음과 같습니다.
1. 잔류 탄성 변형 도입:
HoTE 모델의 탄성 변형률 εe를 완전히 완화되는 부분과 잔류하는 부분으로 나누어 표현할 수 있습니다.
εe = εe_r + εe_d

εe_r: 잔류 탄성 변형률 (residual elastic strain)
εe_d: 완화되는 탄성 변형률 (decaying elastic strain)
완화되는 탄성 변형률 εe_d는 기존 HoTE 모델과 동일하게 시간에 따라 지수적으로 감소하는 형태를 가집니다. 잔류 탄성 변형률 εe_r는 시간에 따라 변하지 않거나, 매우 느리게 완화되는 형태를 가질 수 있습니다.
2. 잔류 탄성 변형률 결정:
잔류 탄성 변형률 εe_r는 유체의 특성 및 유동 조건에 따라 달라질 수 있습니다.

유체 특성: 잔류 탄성 변형률은 유체의 탄성 계수, 항복 응력, 미세 구조 등에 영향을 받습니다. 예를 들어, 강한 탄성 네트워크를 형성하는 유체는 잔류 탄성 변형률이 높게 나타날 수 있습니다.
유동 조건: 잔류 탄성 변형률은 유동의 변형률 속도, 변형률 크기, 유동 시간 등에 영향을 받습니다. 예를 들어, 높은 변형률 속도로 오랜 시간 동안 유동이 발생하면 잔류 탄성 변형률이 증가할 수 있습니다.
잔류 탄성 변형률 εe_r를 결정하기 위해서는 실험 데이터를 바탕으로 모델링하거나, 유체의 미세 구조 변화를 고려한 이론적인 모델을 개발해야 합니다.
3. 수정된 구성 방정식:
잔류 탄성 변형률 εe_r를 고려하여 수정된 구성 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
σ = K (εe_r + εe_d) + η ∂(εe_d)/∂t
이때, 잔류 탄성 변형률 εe_r는 시간에 따라 변하지 않으므로 시간 미분 항이 포함되지 않습니다.
4. 추가적인 수정:

잔류 탄성 변형률이 유체의 다른 물성 (예: 점성, 탄성 계수)에 미치는 영향을 고려하여 모델을 더욱 정교하게 수정할 수 있습니다.
잔류 탄성 변형률의 공간적인 분포를 고려하여 유동 현상을 보다 정확하게 예측할 수 있습니다.
HoTE 모델에 잔류 탄성 변형을 도입하면 실제 유체에서 나타나는 탄성 변형의 불완전한 완화를 효과적으로 설명할 수 있습니다. 이를 통해 잔류 응력, 비선형 점탄성 거동, 유동 이력 효과 등과 같은 복잡한 유동 현상을 더욱 정확하게 모델링하고 예측할 수 있습니다.

HoTE 모델은 유체의 거시적인 거동을 설명하는 데 중점을 두고 있습니다. 미시적인 관점에서 HoTE 모델의 타당성을 뒷받침하는 분자 또는 원자 수준의 메커니즘은 무엇일까요?

HoTE 모델은 유체의 거시적인 거동을 설명하는 데 초점을 맞춘 현상론적 모델이지만, 그 타당성은 미시적인 관점에서의 분자 또는 원자 수준 메커니즘에 의해 뒷받침될 수 있습니다.
1. 탄성 변형:

분자 수준: HoTE 모델에서 탄성 변형은 유체를 구성하는 분자들 사이의 결합 길이와 결합 각도의 변화로 설명될 수 있습니다. 유체에 변형이 가해지면 분자들은 초기 상태에서 벗어나 새로운 위치로 이동하게 되고, 이때 분자들 사이의 결합 길이와 결합 각도가 변화하면서 탄성 에너지를 저장하게 됩니다.
원자 수준: 고분자 용액과 같은 유체의 경우, 고분자 사슬의 탄성적인 성질이 탄성 변형에 기여합니다. 고분자 사슬은 많은 수의 원자들이 공유 결합으로 연결된 형태로 존재하며, 외부 힘에 의해 사슬의 형태가 변형되면 엔트로피가 감소하면서 탄성력이 발생합니다.
2. 탄성 변형 완화:

분자 수준: HoTE 모델에서 탄성 변형의 완화는 시간이 지남에 따라 분자들이 외부 힘에 의해 변형된 상태에서 원래의 평형 상태로 돌아가는 과정으로 설명될 수 있습니다. 이는 분자들의 열운동, 회전, 병진 운동 등을 통해 이루어지며, 주변 분자들과의 충돌을 통해 에너지를 교환하면서 점차적으로 평형 상태에 도달하게 됩니다.
원자 수준: 고분자 용액의 경우, 고분자 사슬의 브라운 운동과 사슬 사이의 상호 작용이 탄성 변형 완화에 영향을 미칩니다. 브라운 운동은 주변 용매 분자들과의 충돌에 의해 발생하는 무작위적인 움직임으로, 시간이 지남에 따라 고분자 사슬이 외부 힘에 의해 변형된 형태에서 벗어나도록 합니다. 또한, 고분자 사슬 사이의 상호 작용 (예: van der Waals 힘, 수소 결합)은 탄성 변형 완화 속도에 영향을 미치며, 강한 상호 작용은 완화 속도를 느리게 만듭니다.
3. Meso-scale 구조:

분자 수준: HoTE 모델에서 meso-temperature는 유체 내부의 meso-scale 구조 변화를 나타내는 변수입니다. 이러한 meso-scale 구조는 분자들의 응집, 정렬, 네트워크 형성 등을 통해 형성될 수 있습니다. 예를 들어, 틱소트로피 유체의 경우, 유체 내부에 형성된 약한 결합 네트워크가 탄성 변형에 기여하며, meso-temperature는 이러한 네트워크 구조의 변화를 반영합니다.
원자 수준: 콜로이드 분산계와 같은 유체의 경우, 콜로이드 입자들의 응집 및 분산 상태가 meso-scale 구조를 형성하며, 이는 유체의 탄성 및 점성 거동에 영향을 미칩니다. HoTE 모델에서 meso-temperature는 콜로이드 입자들의 분산 상태 및 상호 작용 에너지 변화를 반영하며, 이를 통해 유체의 거시적인 유변학적 특성을 설명할 수 있습니다.
결론적으로, HoTE 모델은 유체의 거시적인 거동을 설명하는 데 유용한 도구이며, 그 타당성은 분자 또는 원자 수준의 메커니즘에 의해 뒷받침될 수 있습니다. 유체의 탄성 변형, 탄성 변형 완화, meso-scale 구조 변화는 분자 및 원자 수준에서의 상호 작용, 운동, 구조 형성 등으로 설명될 수 있으며, 이러한 미시적인 메커니즘에 대한 이해는 HoTE 모델을 더욱 발전시키고 다양한 유체 시스템에 적용하는 데 도움을 줄 수 있습니다.