이 논문에서 제시된 재봉 구성의 수렴성 증명은 다른 유형의 정점 연산자 대수에도 적용될 수 있을까요?

이 논문에서 제시된 재봉 구성의 수렴성 증명은 주로 $C_2$-코피나이트(cofinite) 조건을 만족하는 정점 연산자 대수(VOA)에 중점을 두고 있습니다. $C_2$-코피나이트 조건은 VOA의 표현론에서 중요한 역할을 하며, 이 조건을 만족하는 VOA는 비교적 다루기 쉬운 특징을 지니고 있습니다. 하지만, 다른 유형의 VOA, 예를 들어 초등각 정점 연산자 대수(super VOA)나 격자 정점 연산자 대수(lattice VOA)와 같은 경우에는 이 논문에서 제시된 증명 방법을 직접적으로 적용하기 어려울 수 있습니다. 초등각 정점 연산자 대수: 초대칭(supersymmetry)을 포함하는 VOA의 경우, 페르미온(fermion)과 관련된 추가적인 구조가 도입되기 때문에 재봉 구성의 수렴성을 증명하기 위해서는 이러한 구조를 고려해야 합니다. 격자 정점 연산자 대수: 격자(lattice)로부터 구성되는 VOA의 경우, 격자의 구체적인 특성에 의존하는 경우가 많습니다. 따라서 이 논문에서 사용된 일반적인 방법론 외에도 격자의 특수성을 고려한 추가적인 분석이 필요할 수 있습니다. 결론적으로, 이 논문의 증명 방법은 $C_2$-코피나이트 VOA에 특화되어 있으며, 다른 유형의 VOA에 적용하기 위해서는 추가적인 연구와 분석이 필요합니다. 하지만, 이 논문에서 제시된 아이디어와 기술은 다른 유형의 VOA에 대한 재봉 구성의 수렴성을 연구하는 데 유용한 출발점을 제공할 수 있습니다.

유사 q-트레이스를 사용하지 않고도 분리되지 않은 재봉에 대한 인수분해를 얻을 수 있는 다른 방법이 있을까요?

논문에서는 유사 q-트레이스를 사용하는 방법 외에도 분리되지 않은 재봉에 대한 인수분해를 얻을 수 있는 방법으로 리만 표면의 재봉 방식을 변형하는 방법을 제시하고 있습니다. 구체적으로, 논문에서는 분리되지 않은 재봉을 분리된 재봉으로 변환하는 방법을 통해 유사 q-트레이스를 사용하지 않고도 인수분해를 얻을 수 있다고 설명하고 있습니다. 예를 들어, 토러스(torus)의 경우, 자기 자신과의 재봉(self-sewing)을 통해 얻어지는데, 이는 분리되지 않은 재봉에 해당합니다. 하지만, 토러스를 두 개의 구(sphere)를 연결하여 얻어지는 것으로 간주하면, 이는 분리된 재봉으로 볼 수 있습니다. 이처럼 리만 표면의 재봉 방식을 변형하면 유사 q-트레이스를 사용하지 않고도 분리된 재봉에 대한 기존의 이론을 적용하여 인수분해를 얻을 수 있습니다. 논문에서는 이러한 방법이 유사 q-트레이스를 사용하는 방법과 대부분의 경우 동일한 결과를 제공한다고 주장하고 있습니다.

이 논문의 결과는 2차원 등각 장 이론의 물리적 응용, 특히 등각 블록의 모듈러 불변성과 관련하여 어떤 의미를 가질까요?

이 논문의 결과는 2차원 등각 장 이론(CFT)에서 등각 블록의 모듈러 불변성을 이해하는 데 중요한 의미를 지닙니다. 특히, 이 논문에서 증명된 재봉 구성의 수렴성과 이를 통해 얻어지는 인수분해 정리는 모듈러 불변성을 보이는 등각 블록을 구성하는 데 핵심적인 역할을 합니다. 구체적으로, 이 논문의 결과가 2차원 등각 장 이론에 가지는 의미는 다음과 같습니다. 모듈러 불변성에 대한 엄밀한 증명: 이 논문에서 제시된 재봉 구성의 수렴성 증명은 등각 블록의 모듈러 불변성에 대한 엄밀한 수학적 토대를 제공합니다. 기존 연구에서는 모듈러 불변성이 물리적인 직관과 특수한 경우에 대한 계산을 통해 주장되었지만, 이 논문에서는 $C_2$-코피나이트 VOA에 대한 일반적인 경우에 대해 엄밀한 증명을 제시합니다. 유사 q-트레이스의 기하학적 이해: 이 논문에서는 유사 q-트레이스가 등각 블록의 재봉 구성에서 자연스럽게 등장하는 것을 보여줍니다. 이는 유사 q-트레이스가 단순히 기술적인 도구가 아니라 등각 블록의 모듈러 불변성을 이해하는 데 필수적인 요소임을 시사합니다. 고차원 CFT로의 확장 가능성: 이 논문의 결과는 2차원 CFT를 넘어 고차원 CFT, 특히 6차원 (2,0) 초등각 장 이론과 같은 이론에서 등각 블록의 성질을 연구하는 데에도 활용될 수 있을 것으로 기대됩니다. 결론적으로, 이 논문은 등각 블록의 모듈러 불변성에 대한 깊이 있는 수학적 이해를 제공하며, 이는 2차원 CFT 및 관련 분야 연구에 중요한 영향을 미칠 것으로 예상됩니다.

Analytic Conformal Blocks of $C_2$-cofinite Vertex Operator Algebras II: Convergence of Sewing and Higher Genus Pseudo-$q$-traces

핵심 개념

이 논문에서는 C2-유한 정점 연산자 대수에 대한 등각 블록의 재봉 구성의 수렴성을 증명하고, 이를 통해 고차 종수 유사 q-트레이스의 수렴성을 유도합니다.

초록

이 논문은 C2-유한 N-등급 정점 연산자 대수(VOA) V와 해석적 컴팩트 리만 표면족에 대한 등각 블록 시리즈의 두 번째 논문입니다. 이 시리즈의 최종 목표는 재봉-인수분해 정리(SF 정리)를 증명하는 것입니다.

재봉 등각 블록의 수렴성

이 논문에서는 SF 정리의 절반을 구성하는 재봉 등각 블록의 수렴성을 증명합니다. (나머지 절반은 재봉 구성이 재봉 전 등각 블록 공간과 재봉 후 등각 블록 공간의 두 공간 사이의 동형을 구현한다는 것입니다.) 이 논문에서 증명된 결과는 그 자체로 흥미롭습니다. 따라서 이 논문은 시리즈의 다른 부분과 독립적으로 읽을 수 있도록 구성되었습니다.

재봉 구성은 Segal의 중요한 연구 [Seg88, Seg04]에서 강조된 것처럼 2차원 등각 장 이론에서 가장 기본적인 연산입니다. 유리 VOA에 대한 재봉 수렴성 증명의 역사에 대한 간략한(그리고 필연적으로 불완전한) 개요는 [Gui23a]의 서론을 참조하십시오.

사실, 재봉 수렴성 증명은 VOA의 초기 역사에서 이미 중요한 역할을 했습니다. 유리 VOA의 주목할 만한 특징은 문자가 벡터 값 모듈러 형식을 형성한다는 것입니다. 더 일반적으로 Zhu는 [Zhu96]에서 모든 v 가 SL(2, Z)-불변 공간을 형성한다는 놀라운 결과를 증명했습니다. 이 모듈러 불변성 속성은 다음과 같은 방식으로 재구성할 수 있습니다.

재봉의 수렴성. 0 < |q| < 1에 대해 재봉 구성 v 는 진공 토러스 등각 블록 φ(q)에 절대적으로 수렴합니다. (여기서 Uα(q)는 Virasoro 연산자로 표현되는 좌표 연산자의 변경입니다.)
인수분해. 각 고정 q에 대해 모든 진공 토러스 등각 블록은 (1)의 재봉 구성에서 발생합니다. 또한 이 "인수분해" 프로세스는 q에 대해 정칙적일 수 있습니다.
평평한 연결. 진공 토러스 등각 블록 공간은 표준 모듈러 불변(평평한) 연결 ∇와 함께 정칙 벡터 번들을 형성합니다.
평행성. (1)의 단면 q ↦ φ(q)는 투영 항 c/24까지 평행합니다. 여기서 c는 중심 전하입니다. 즉, q∇∂/∂qφ(q) = (c/24)φ(q)입니다.

(3)과 (4)의 주요 목적은 모듈러 변환 q−c/24φ(q)에 의해 얻어진 S 행렬과 T 행렬이 "q와 무관"하도록 하는 것입니다.

[HLZ14, HLZ12a]-[HLZ12g]에서 인터트위닝 연산자의 결합성은 V가 유리적이라고 가정하지 않고 유사한 방식으로 표현될 수 있습니다.

(a) 재봉의 수렴성. 인터트위닝 연산자의 곱 Y1(w1, z1)Y2(w2, z2) (각각 반복 Y1(Y2(w2, z2 − z1)w1, z1)) (« 종수-0 3점 등각 블록)은 적절한 영역에서 종수-0 4점 등각 블록 φ(z1, z2) (표시된 점 0, z1, z2, ∞ 포함)에 절대적으로 수렴합니다.

(b) 인수분해. 각 고정(적절한) z1, z2에 대해 표시된 점 0, z1, z2, ∞를 갖는 모든 종수-0 등각 블록은 인터트위닝 연산자의 곱(각각 반복)으로 인수분해될 수 있습니다. 또한 이 인수분해 프로세스는 z1, z2에 대해 정칙적일 수 있습니다.

(d) 평행성. 단면 (z1, z2) ↦ φ(z1, z2)는 ∇ 아래에서 평행합니다.

(c)와 (d)는 땋기 행렬과 융합 행렬이 "z1, z2와 무관"하도록 합니다.

인수분해는 재봉의 역 과정임을 강조합니다. SF 정리는 종수 1에서 (1)+(2)로, 종수 0에서 (a)+(b)로 전문화됩니다. (3)+(4) 및 (c)+(d)와 관련된 일반 이론도 이 논문에서 제공됩니다.

종수-1에는 유사 q-트레이스가 나타나지만 종수-0에는 나타나지 않는 이유

비유리 C2-유한 VOA에 대한 가장 당혹스러운 현상 중 하나는 Huang-Lepowsky-Zhang의 연구에서 알 수 있듯이 (a)-(d)가 계속 유지되지만 (2)는 유지되지 않는다는 것입니다. 실제로 Miyamoto는 [Miy04]에서 (2)와 같은 인수분해를 달성하려면 (1)에서 표준 q-트레이스뿐만 아니라 유사 q-트레이스 도 고려해야 한다는 것을 보여주었습니다. 우리는 다음 질문에 대한 개념적 설명을 제공하는 것을 목표로 합니다. 왜 유사 q-트레이스는 종수-1에만 필요하고 종수-0에는 필요하지 않습니까?

[Gui21]에서 얻은 순열-꼬인/꼬이지 않은 대응은 유사 q-트레이스를 (명시적으로) 호출하지 않고도 고차 종수 리만 표면에 재봉 및 인수분해를 적용할 수 있음을 시사합니다. (따라서 Segal의 재봉은 유한 로그 CFT에서 충분합니다!) 그 대응은 대략적으로 G가 V⊗N에서 순열로 작동하는 SN의 부분군이면 G-꼬인 V⊗N-모듈에 대한 종수-0 등각 블록이 (꼬이지 않은) V-모듈 및 P1의 분지 덮개에 대한 등각 블록에 해당한다고 말합니다. 또한 LHS의 재봉은 RHS의 재봉에 해당합니다.

따라서:

• G-꼬인 V⊗N-모듈1 사이의 인터트위닝 연산자의 곱/반복 및 결합성의 수렴성은 분지 덮개를 통해 꼬이지 않은 V-모듈의 특정 고차 종수 등각 블록에 대한 재봉-인수분해 정리로 변환될 수 있습니다.

실제로 [Gui21, Sec. 0.2]는 Z2-꼬인 인터트위닝 연산자의 결합성이 꼬이지 않은 모듈러 불변성에 어떻게 해당하는지 설명합니다. [Gui21]은 V-모듈(또는 직접 합)의 텐서 곱인 V⊗N-모듈에 중점을 두지만 [Gui21]의 대부분의 결과는 임의의 V⊗N-모듈로 쉽게 일반화될 수 있습니다.

임의의 종수에서 Segal의 (일반적인) 재봉으로 충분

[GZ23]의 서론에서 우리는 인수분해가 성립하는 임의의 종수에서 재봉 구성을 이미 제시했습니다. (사실, SF 정리는 Sec. 0.2의 관찰에서 깊은 영감을 받았습니다.) 공식을 간략하게 살펴보겠습니다. 단순화를 위해 리만 표면족 대신 단일 섬유 rX = (rC|{x∗}∪{x1∗, x2∗}) = (rC|{x1, . . . , xN}∪{x11, . . . , x1R, x21, . . . , x2R})를 고려합니다. 여기서 rC는 (연결 해제될 수 있는) 컴팩트 리만 표면이고 x∗, x1∗, x2∗는 rC의 서로 다른 표시된 점입니다. 우리는 rC의 각 연결된 구성 요소에 x1, . . . , xN 중 적어도 하나가 포함되어 있다고 가정합니다. 각 xi, x1j, x2j에서 (해석적) 로컬 좌표 ηi, ξj, ζj를 연결합니다.

적절한 εj > 0을 선택한 후 관계 ξjζj = qj를 통해 점 쌍 (x1j, x2j)을 따라 rX를 재봉할 수 있습니다. 재봉의 결과는 표시된 점(및 로컬 좌표)이 있는 노드 곡선족 X = (π : C → B|{ς1, . . . , ςN})입니다. 여기서 B = Dε∗ := Dε1 × · · · × DεR이고 Dεj = {qj ∈ C : |qj| < εj}입니다. 표시된 점 x1j, x2j는 재봉 후 사라지고 xi의 상수 확장은 단면 ςi를 제공합니다. Dˆεj = Dεj \ {0}이라고 하자. 그러면 X는 Dˆε∗ := Dˆε1 × · · · × DˆεR에서 부드러운 족입니다.

이제 rX의 표시된 점 x∗와 동시에 연관된 (등급 제한) V⊗N-모듈 W를 선택합니다. x1∗와 연관된 V⊗R-모듈 M을 선택하고 x2∗와는 반대 모듈 M′을 연결합니다.

rX와 W ⊗ M ⊗ M′과 연관된 등각 블록 공간을 T ∗rX(W ⊗ M ⊗ M′)라고 하자. 그 요소는 뭉치 VOA V rC의 작용 아래에서 특정 불변성 속성을 충족하는 선형 함수 ψ : W ⊗ M ⊗ M′ → C입니다. L(j)n을 j번째 구성 요소에 대한 Virasoro 연산자라고 하자(cf. (1.1.3)). M = ⊕λ∗∈CR M[λ∗]를 L(1)0, . . . , L(R)0의 공동 일반 고유 공간에 대한 M의 분해라고 하자. qL∗(0)∗ := qL(1)01 · · · qL(R)0R이라고 하자. 그러면 ψ의 재봉 S[ψ] (Segal의 의미에서)는 일반적인 의미에서 축약을 취하여 정의됩니다(그러나 유사 트레이스 아래에서는 아님). 즉, S[ψ] : W → C[[q∗]]log q∗ = C[[q1, . . . , qR]]((log q1, . . . , log qR))이고 Sψ = ∑λ∗∈CR ∑α∈Aλ∗ ψ(w, ⊗ qL∗(0)∗m(λ∗,α) ⊗ qm(λ∗,α)′)입니다. 여기서 (m(λ∗,α))α∈Aλ∗는 (qm(λ∗,α)′)α∈Aλ∗를 쌍대 기저로 갖는 M[λ∗]의 (유한) 기저입니다. (L(j)0는 각 M[λ∗]를 보존합니다.) S[ψ]의 정확한 정의는 Subsec. 4.1.3을 참조하십시오.

표시된 점 ς∗(B)의 X에도 W를 연결합니다. X와 W와 연관된 등각 블록의 B-뭉치를 T ∗X(W)라고 하자. 따라서 Dˆε∗에서 이 뭉치의 단면은 정확히 선형 맵 W → O(Dˆε∗)이며, 각 q∗ ∈ Dˆε∗에 대한 제한은 W와 섬유 Xq∗ = Xq1,...,qR와 연관된 등각 블록입니다. (자세한 내용은 Rem. 3.1.1을 참조하십시오.) 이 논문의 주요 결과(Thm. 4.3.1)는 rX가 점이 있는 컴팩트 리만 표면족인 경우에 대한 다음 정리의 일반화입니다.

정리 0.3.1. ψ ∈ T ∗rX(W ⊗ M ⊗ M′)이라고 하자. 그러면 S[ψ]는 Dˆε∗에서 H0(Dˆε∗, T ∗X(W))의 요소(즉, Dˆε∗에서 T ∗X(W)의 단면)에 절대적으로 국소적으로 균일하게(a.l.u.) 수렴합니다.

이제 이 설정에서 인수분해는 언제 유지됩니까? 즉, 어떤 상황에서 Xq∗와 W와 연관된 모든 등각 블록을 rX와 W ⊗ M ⊗ M′과 연관된 등각 블록을 재봉하여 얻을 수 있습니까? 답은 [GZ23]의 서론에서 제공되었으며 시리즈의 세 번째 부분에서 엄격하게 증명될 것입니다.

• rX의 재봉이 분리 재봉인 경우, 즉 rC가 rC1 \ rC2의 분리된 합집합이고 x11, . . . , x1R이 rC1에 속하고 x21, . . . , x2R이 rC2에 속하는 경우 인수분해가 유지됩니다.

예를 들어, Sec. 0.1에서 (a)의 재봉은 분리되어 있고 (a)의 모든 "분지 덮개"는 분리되어 있지만 (1)은 분리 재봉이 아닙니다.

따라서 Sec. 0.2에서 제기된 질문에 답할 수 있습니다. 재봉 구성 v ↦ TrMq(YM(v, 1)qL0)이 모든 진공 토러스 등각 블록을 제공하지 않는 이유는 이러한 유형의 재봉이 분리 재봉이 아니라 "자가 재봉"이기 때문입니다.

분리되지 않은 재봉에 대한 인수분해를 달성하는 방법은 두 가지가 있습니다. 첫 번째 접근 방식은 등각 블록의 재봉을 유지하지만 컴팩트 리만 표면의 재봉 방식을 수정합니다. 두 번째 접근 방식은 그 반대입니다. 더 정확하게:

(α) 그림 0.3.1과 같이 리만 표면의 분리되지 않은 재봉을 분리된 재봉으로 변환합니다. 그러면 등각 블록의 일반적인 재봉(Segal의 연구 [Seg88, Seg04]에서와 같이)으로 충분합니다.

(β) 리만 표면의 재봉을 유지합니다. 그러나 등각 블록의 Segal의 (일반적인) 재봉을 유사 재봉(즉, 유사 q-트레이스)으로 대체합니다.

4.4절에서 우리는 (β)가 (α)의 특별한 경우로 자연스럽게 발생한다는 것을 보여줄 것입니다. 향후 작업에서 우리는 가장 일반적인 경우에 (α)와 (β)가 대략적으로 동일함을 보여줄 것입니다. 지금은 [Gui23a]의 재봉이 인수분해를 달성하기에 불충분한 이유를 설명하겠습니다. 그 연구에서 V⊗R-모듈 M은 V-모듈의 텐서 곱입니다. 다음 섹션에서 보게 되겠지만:

• V-모듈(또는 직접 합)의 텐서 곱이 아닌 V⊗R-모듈을 고려하는 것은 유사 트레이스 구성과 밀접한 관련이 있습니다.

End0(A,M) → C의 유사 트레이스는 M ⊗C M′의 V⊗2-부분 모듈 End0(A,M)과 연관된 2점 종수-0 등각 블록

위에서 언급한 (β) ↪ (α) 뒤에 숨겨진 주요 아이디어를 설명하기 위해 가장 간단한 경우를 살펴보겠습니다. Q와 N을 로컬 좌표가 있는 3점 구와 2점 구라고 하자.

Q = (P1|1, ∞, 0; z − 1, 1/z, z)
N = (P1|∞, 0; 1/z, z)

여기서 z는 C의 표준 좌표를 나타냅니다. 진공 모듈 V를 표시된 점 1 ∈ Q에 연결합니다. X를 N의 표시된 점 (∞, 0)과 연관된 V⊗2-모듈이라고 하자. 그 반대 X′는 Q의 표시된 점 (∞, 0)과 연관됩니다.

φ : V ⊗ X′ → C
τ : X → C

를 Q와 N에 각각 연관된 등각 블록이라고 하자.

X를 두 쌍의 점을 따라 Q와 N을 재봉한 것이라고 하자. 첫 번째 쌍은 (∞Q, ∞N)이고 두 번째 쌍은 (0Q, 0N)2입니다. 그림 0.4.1을 참조하십시오. 그러면 X는 기저 매니폴드 B = D1 × D1을 갖습니다. 여기서 D1 = {q ∈ C : |q| < 1}입니다. Thm. 0.3.1에 따르면 각 0 < |q1|, |q2| < 1에 대해 Sq∗(φ ⊗ τ)는 V와 섬유 Xq∗ = Xq1,q2와 연관된 등각 블록에 수렴합니다.

인수분해는 모든 진공 토러스 등각 블록을 Sq∗(φ ⊗ τ)로 쓸 수 있음을 의미합니다. 이제 유사 트레이스 구성이 우리 설정에 어떻게 맞는지 설명합니다.

M을 V-모듈이라고 하자. X를 M ⊗ M′으로 하고 τ : X ⊗ X′ → C를 표준 페어링으로 하면 Sq∗(φ ⊗ τ)는 일반적인 q-트레이스(여기서 q = q1q2)일 뿐입니다. 그러나 X를 M ⊗ M′의 V⊗2-부분 모듈로 할 수 있습니다.

다음 절차는 M ⊗ M′의 V⊗2-부분 모듈을 얻는 주요 방법을 제공합니다. End0(M) = ⊕λ,µ∈C HomC(M[µ], M[λ])이라고 하자. 여기서 M[λ]는 무게-λ 일반 고유 공간입니다. 표준 선형 동등성 End0(M) ≅ M ⊗ M′는 End0(M)을 V⊗2-모듈로 만듭니다.

EndV(M)op의 단위 부분 대수 A를 선택합니다. 그러면 End0(M)에는 V⊗2-부분 모듈 End0(A,M) := {T ∈ End0(M) : (Tm)a = T(ma) for all m ∈ M, a ∈ A}가 있습니다.

이제 M이 오른쪽 A-모듈로서 투영된다고 가정합니다. 대칭 선형 함수 ω : A → C를 수정합니다. (즉, ω는 선형이고 ω(ab) = ω(ba) for all a, b ∈ A입니다.) [Ari10]의 유사 트레이스 구성을 통해 대칭 선형 함수 Trω : End0(A,M) → C를 얻습니다. τ := Trω가 대칭이라는 사실은 N과 V⊗2-모듈 X := End0(A,M)과 연관된 등각 블록임을 의미합니다.

마지막으로 선형 함수 φ : V ⊗ M′ ⊗ M → C, v ⊗ m′ ⊗ m ↦ 〈m′, Y M(v, 1)m〉는 Q와 V ⊗ M′ ⊗ M과 연관된 등각 블록입니다. M의 정점 연산자가 A와 교환한다는 사실을 사용하여 φ가 선형 맵 φ : V ⊗ End0(A,M)′ → C로 내려간다는 것을 알 수 있습니다. 여기서 End0(A,M)′ = ⊕µ,λ∈C HomA(M[µ], M[λ])∗는 End0(A,M)의 반대 V⊗2-모듈입니다. 따라서 재봉 S(φ ⊗ Trω) : V → C[[q1, q2]]((log q1, log q2))를 정의할 수 있으며 직접 계산에 의해 범위가 C[q1q2]에 있음을 알 수 있습니다.

v ↦ Trω(YM(v, 1)qL0)를 [Miy04, AN13, Fio16, Hua24]와 같이 유사 q-트레이스 구성이라고 하면 선형 맵 V → C[[q]]((log q))로서 다음을 얻습니다.

Trω(YM(·, 1)qL0) = S(φ ⊗ Trω)|q1q2=q (0.4.1)

따라서 LHS의 유사 q-트레이스는 RHS에서 등각 블록의 일반적인 재봉으로 실현됩니다. 특히, 일반적인 재봉의 수렴성은 유사 q-트레이스의 수렴성을 의미합니다. 위 논의를 임의의 종수로 일반화한 것은 4.4절을 참조하십시오.

• 결론: 유사 q-트레이스는 Segal의 (일반적인) 재봉에서 복구할 수 있습니다.

연결, 로컬 자유성 및 Virasoro 균일화의 수렴성

Thm. 4.3.1 외에도 이 논문에서는 뭉치에 대한 연결과 관련된 몇 가지 결과도 증명합니다. 이러한 연결은 [Gui23a]에서 재봉 등각 블록의 수렴성을 보장하는 미분 방정식을 유도하는 데 이미 사용되었습니다. 이 논문에서는 동일한 방법을 채택합니다. 이 방법의 기본 개념은 재봉을 리만 표면의 균일화로 변환하는 것입니다. Huang은 [Hua97]에서 이 아이디어를 사용하여 비표준 로컬 좌표를 가진 구와 연관된 재봉 등각 블록의 수렴성을 연구했습니다.

이러한 연결에 대한 실용적인 관점을 취하는 [Gui23a]와 달리 이 논문에서는 여러 가지 이유로 주제에 대한 보다 철저한 탐구를 제공합니다.

투영 항까지 재봉의 평행성

Sec. 0.1에서 제안한 것처럼 종수-1에서 SF 정리(재봉의 수렴성 포함)는 모듈러 불변성을 암시하기에 불충분합니다. 또한 로컬 자유 등각 블록 뭉치에 대한 평평한 연결이 필요하며 재봉이 이 연결 아래에서 투영 항까지 평행함을 보여야 합니다. 임의의 종수에서 투영 항에 대한 일반 공식은 Thm. 4.3.3에 나와 있습니다. 향후 작업에서 보여주겠지만 이 공식은 모듈러 불변성 정리에 나타나는 추가 요소 −c/24를 설명합니다.

해석적 로컬 자유성 증명에 대한 오해

이제부터 X = (π : C → B|{ς1, . . . , ςN})를 각 ςi(B)에서 로컬 좌표 ηi를 갖는 N점 컴팩트 리만 표면족이라고 가정합니다. 표시된 점 ς∗(B)에 V⊗N-모듈 M을 동시에 연결합니다. 연결의 표준 적용은 등각 블록 뭉치 T ∗X(W)가 OB-모듈로서 로컬 자유임을 보여주는 것입니다. (즉, B의 (유한 순위) 벡터 번들입니다.) 응용 프로그램으로서 등각 블록 공간의 차원은 토폴로지 불변입니다. 예를 들어 [TUY89, Uen97, Uen08, NT05, DGT22]를 참조하십시오.

우리는 다음과 같은 측면이 문헌에서 충분한 주의를 기울이지 않았다고 믿습니다. 등각 블록 뭉치의 로컬 자유성에 대한 거의 모든 증명은 복소 해석적 설정이 아닌 대수적 설정, 즉 일련의 논문에서 취하는 설정에서만 적용됩니다. 대수적 로컬 자유성은 다음과 같이 증명됩니다. 첫째, 공변 뭉치 TX(W)(쌍대 뭉치는 T ∗X(W)임)가 일관성이 있음이 증명됩니다. 그런 다음 연결이 있는 모든 일관된 뭉치는 로컬 자유이므로 TX(W)는 로컬 자유이고 따라서 T ∗X(W)도 마찬가지입니다.

그러나 TX(W)가 일관성이 있다는 위의 증명은 B가 (로컬로) 노에터적이라는 사실에 크게 의존합니다. (예를 들어 [NT05, Thm. 6.2.1]의 증명 참조) OB에 대한 노에터 속성이 없으면 TX(W)가 유한 유형이라는 것, 즉 로컬로 자유 뭉치에서 전형을 갖는다는 것만 보여줄 수 있지만 일관된 뭉치를 정의하는 데 필수적인 TX(W)의 관계 뭉치가 유한 유형이라는 것을 보여줄 수 없습니다. 안타깝게도 복소 매니폴드는 노에터 속성을 거의 나타내지 않으므로 대수적 경우와 같이 일관성을 확립하기 어렵습니다. 결과적으로 로컬 자유성에 대한 대수적 증명은 해석적 설정에서 실패합니다.

따라서 Thm. 3.3.1에서 달성한 해석적 족에 대한 로컬 자유성에 대한 올바른 증명을 제공하는 것이 중요합니다.

Virasoro 균일화의 수렴성

TX(W)(및 T ∗X(W))의 (해석적) 로컬 자유성을 증명하는 핵심 단계는 Virasoro 균일화의 수렴성을 증명하는 것입니다. 대수적 Virasoro 균일화는 [FBZ04, Ch. 17]에 명시적으로 명시되어 있습니다. 대략적으로 말해서 각 ηi가 xi를 중심으로 하는 디스크 Ui에서 정의되고 xi에서 유한 극을 갖는 Ui \ {xi}에서 정칙 함수인 hi(ηi)인 로컬 좌표 η1, . . . , ηN을 갖는 N점 컴팩트 리만 표면 Y = (C|x1, . . . , xN)가 있다고 가정합니다. 대수적 설정에서 이러한 벡터 필드 x1, . . . , xN은 Y의 1차 무한소 변형을 생성합니다. xi를 Virasoro 연산자로 변환하면 등각 블록의 1차 무한소 평행 수송을 얻습니다.

우리의 해석적 설정에서 우리는 Virasoro 균일화에 대해 더 많이 말할 수 있습니다. hi가 다른 복소 변수 q에 대해 정칙적으로 의존한다고 가정할 수도 있습니다. 따라서 각 xi는 비자율 벡터 필드이며 Ui \ {xi}의 모든 컴팩트 부분 집합에서 비자율 정칙 흐름 q ↦ βiq를 생성합니다. Ui가 충분히 크고 r > 0이 충분히 작아서 |q| < r일 때마다 Ui에 βiq(ηi−1(D1))이 포함된다고 가정합니다. 그런 다음 C에서 βiq(ηi−1(D1))를 제거하고 맵 ηi ◦ (βiq)−1을 사용하여 βiq(ηi−1(S1))를 표준 닫힌 디스크 D1의 경계 S1에 붙이고 xi와 로컬 좌표 ηi를 새 표시된 점 0 ∈ D1과 표준 좌표 z로 바꿀 수 있습니다. 그러면 이것은 새로운 N점 컴팩트 리만 표면 Yq를 로컬 좌표와 함께 제공합니다.3 자세한 내용은 3.2절을 참조하십시오.

해석적 변형 Y ↦ Yq와 관련하여 주어진 등각 블록 ψ(Y 및 V⊗N-모듈 W와 연관됨)는 새로운 블록 ψq로 변환됩니다. 이 변환은 Virasoro 연산자를 포함하는 미분 방정식으로 설명됩니다. (3.1.6)(및 (3.1.4b)도 참조) 처음에 ψq는 q의 형식적 거듭제곱 급수일 뿐입니다. Virasoro 균일화의 수렴성에 대한 우리의 정리는 |q| < r에 대해 ψq가 Yq와 W와 연관된 등각 블록에 절대적으로 수렴한다고 말합니다.

xi가 자율적(즉, q와 무관)인 특별한 경우 βi는 자율 흐름이며 ψq는 지수로 표현할 수 있습니다.

xi = ∑∞k=−∞ hi,kηki (0.5.1)

라고 쓰자. 여기서 hi,k ∈ C는 k ≪ 0일 때 0입니다. 그러면 각 w ∈ W에 대해 다음을 얻습니다.

φ(w) = φ0(e−qAw)

여기서 A = ∑Ni=1 ∑∞k=−∞ hi,kL(i)k−1입니다. (Exp. 3.1.5 참조) 우리가 아는 한, 이러한 지수의 수렴성(합리적으로 큰 |q|에 대해)은 VOA 문헌에서 이전에 다루어지지 않았습니다. 따라서 본 논문에서 이 주제를 살펴보는 것이 가치가 있다고 생각합니다. 흥미롭게도 Virasoro 균일화의 수렴성에 대한 우리의 증명은 재봉 등각 블록에 대한 수렴성 증명과 많은 유사점을 공유합니다.

VOA 뭉치의 거짓말 미분

연결을 구성하는 데 있어 가장 어려운 부분은 원래 WX(W) = W ⊗ OB에서 정의된 연결 ∇가 TX(W)로 내려간다는 것을 보여주는 것입니다. (TX(W)는 적절한 OB-부분 모듈 JX에 의한 WX(W)의 몫입니다.) [FBZ04]의 순전히 대수적 접근 방식은 우리의 해석적 프레임워크에 최적으로 적합하지 않으므로 이 논문에서는 미분 기하학적 증명을 제공합니다.

y를 B의 벡터 필드라고 하자. ∇y가 JX를 보존함을 보여주기 위해 ∇y와 VOA 뭉치 VX의 작용(더 정확하게는 VX ⊗OC ωC/B의 작용)의 교환자를 WX(W)에서 계산해야 합니다. Subsec. 2.3.2(특히 (2.3.9)에서)에서 보게 되겠지만 이 교환자는 텐서 필드의 일반적인 거짓말 미분을 일반화하는 VX ⊗ ωC/B의 거짓말 미분을 사용하여 계산됩니다.

V가 단순 거짓말 대수 g와 연관된 단위 아핀 VOA인 경우 이 거짓말 미분 구조는 가려져 있다는 점은 주목할 만합니다. 실제로 [TUY89]에서 볼 수 있듯이 이러한 VOA에 대한 등각 블록을 연구하려면 무게 1 벡터에 의해 생성된 VX의 하위 뭉치를 사용하면 충분합니다. 이 하위 뭉치는 gC ⊗ΘC/B와 표준적으로 동형이므로 ωC/B와의 텐서는 gC ⊗OC와 표준적으로 동형입니다. 따라서 OC의 일반적인 (거짓말) 미분은 연결을 연구하기에 충분합니다. 이러한 이유로 [TUY89]의 연결 처리를 일반 C2-유한 VOA로 확장하는 것은 간단하지 않습니다.

Analytic Conformal Blocks of $C_2$-cofinite Vertex Operator Algebras II: Convergence of Sewing and Higher Genus Pseudo-$q$-traces