최근, 항목의 높이가 제한된 정수 및 유리 행렬의 산술적 통계에 대한 관심이 높아지고 있습니다. 예를 들어, 이전 연구들은 제한된 항목과 고정된 특성 다항식을 갖는 정수 행렬의 개수, 정수 행렬의 고유값, 정수 행렬의 곱집합, 모듈로 p에 대한 정수 행렬의 순위, 2x2 정수 행렬의 산술적 통계 문제를 다루었습니다. 이러한 연구들을 바탕으로, 이 논문에서는 고정된 행렬식과 높이가 제한된 2x2 정수 행렬의 개수를 계산하는 문제를 다룹니다.
기존 연구에서는 행렬 노름을 사용하여 행렬 집합의 점근 공식을 제시했지만, 이는 높이에 대한 균일한 결과를 제공하지 못했습니다. 또한, 균일한 상한을 제시한 연구도 있었지만, 이는 점근 공식과 일치하지 않았습니다. 특정 행렬식 값에 대해서는 몇 가지 결과가 있었지만, 이러한 결과는 높이에 따라 달라지는 상수를 포함하고 있어 균일한 결과를 제공하지 못했습니다.
이 논문에서는 행렬식이 0이 아닌 경우, 행렬식과 높이가 모두 무한대로 갈 때, 주어진 행렬식과 높이를 갖는 2x2 정수 행렬의 개수에 대한 점근 공식을 찾는 것을 목표로 합니다. 이 공식은 행렬식 또는 높이에 대해 균일해야 하며, 높이에 대한 행렬식의 큰 간격에 대해 유지되어야 합니다.
이 논문에서는 행렬식이 0인 경우와 0이 아닌 경우에 대한 점근 공식을 제시합니다.
Theorem 1.1: 높이 H가 무한대로 갈 때, 행렬식이 0인 2x2 정수 행렬의 개수는 (96/π²)H²logH + O(H²)입니다.
Theorem 1.2: 행렬식 Δ가 0이 아닌 경우, 높이 H와 |Δ|가 모두 무한대로 갈 때, 행렬식이 Δ인 2x2 정수 행렬의 개수는 (96/π²)σ(|Δ|)|Δ|⁻¹H² + O(H^(1+ε)max{H^(5/3), |Δ|})입니다. 여기서 σ(n)은 n의 양의 약수의 합을 나타냅니다.
이 논문에서는 행렬식 방정식 ad = Δ + bc의 정수 해의 개수를 계산하여 주어진 행렬식과 높이를 갖는 정수 행렬의 개수를 계산합니다. 증명 과정에서 모듈러 쌍곡선 위의 점 분포에 대한 Ustinov의 연구 결과와 GCD 함수와 관련된 합산 항등식을 활용합니다.
다른 언어로
소스 콘텐츠 기반
arxiv.org
더 깊은 질문