3차원에서 왜곡된 아노소프 흐름은 립-아노소프 흐름과 궤도 동치이다

핵심 개념

3차원에서 양의 방향으로 왜곡된 R-덮개 아노소프 흐름은 부드러운 립-아노소프 흐름과 궤도 동치임을 증명합니다.

초록

3차원에서 왜곡된 아노소프 흐름은 립-아노소프 흐름과 궤도 동치이다

이 연구는 쌍곡면의 측지 흐름에서 영감을 받아 시작되었습니다. 쌍곡면의 측지 흐름은 쌍곡 흐름의 대표적인 예시이며, 해당 다양체에서 자연스럽게 발생하는 립 흐름입니다. 아노소프는 이러한 쌍곡 측지 흐름을 일반화하여 현재 아노소프 흐름으로 알려진 개념을 만들었습니다. 3차원에서 아노소프 흐름은 다양한 방식으로 나타납니다. 예를 들어, 토러스의 선형 아노소프 미분동형사상의 서스펜션, 주기적 궤도를 따라 데ーン 수술(Fried-Goodman 수술이라고도 함)로부터 생성된 아노소프 흐름, 쌍곡 플러그를 붙여서 생성된 아노소프 흐름 등이 있습니다.
하지만 측지 흐름을 제외하고는 립 유형의 아노소프 흐름은 거의 알려지지 않았습니다. Foulon과 Hasselblatt은 쌍곡 측지 흐름에 대한 수술을 통해 립-아노소프 흐름을 만들어냈습니다. 이들의 연구는 Handel과 Thurston의 이전 수술 연구를 확장한 것입니다. 최근 Salmoiraghi는 쌍접촉 구조를 사용하여 더 큰 립-아노소프 흐름 군을 만들어냈습니다. 그의 연구는 Goodman이 도입한 수술 연산을 확장한 것입니다.
Fenley와 Barbot은 아노소프 흐름의 위상적 특성을 이해하기 위해 궤도 공간이라는 중요한 개념을 독립적으로 도입했습니다. 왜곡된 R-덮개 아노소프 흐름이라는 아노소프 흐름 군은 궤도 공간으로 특징지어집니다. Barbot은 립-아노소프 흐름이 왜곡된 R-덮개 흐름임을 증명했습니다. 이 논문의 주요 결과는 그 반대의 의미, 즉 3차원에서 R-덮개이고 양의 방향으로 왜곡된 아노소프 흐름은 부드러운 립-아노소프 흐름과 궤도 동치임을 증명하는 것입니다.

정리 A
방향이 있는 닫힌 3차원 다양체에서 아노소프 흐름 φ가 있다고 가정합니다. φ가 R-덮개이고 양의 방향으로 왜곡되었다면 φ는 부드러운 립-아노소프 흐름과 궤도 동치입니다. 또한 α가 해당 접촉 형태이면 α ∧ dα는 양수입니다.
두 흐름 사이의 궤도 동치는 흐름의 (방향이 있는) 궤도를 교환하는 동형사상입니다(1.1절 참조). 이 정리는 Barbot/Barthelm´e의 추측에 대한 답을 제시합니다. 이 정리와 이전 연구를 결합하면 표 1과 같이 일련의 동치 관계를 얻을 수 있습니다. 불변 부호 측정 간의 Birkhoff 섹션과 연결 수는 서론의 뒷부분에서 소개됩니다. M0p(φ)는 널 동족 φ 불변 확률 측정 집합을 나타냅니다.
표 1: 닫힌 3차원 다양체에서 아노소프 흐름에 대한 사분법

양의 방향으로 왜곡됨
평평한 흐름
음의 방향으로 왜곡됨
기타

1
양의 방향으로 왜곡된 R-덮개
R-덮개, 사소한 쌍엽 평면
음의 방향으로 왜곡된 R-덮개
R-덮개가 아님

2
양의 경계를 갖는 Birkhoff 섹션 존재
경계가 없는 Birkhoff 섹션 존재
음의 경계를 갖는 Birkhoff 섹션 존재
기타

3
모든 M0p(φ)와 양의 연결 수를 갖는 µ ∈ M0p(φ) 존재
M0p(φ) = ∅
모든 M0p(φ)와 음의 연결 수를 갖는 µ ∈ M0p(φ) 존재
기타

4
ψ ≃ φ, ψ 불변 접촉 형태 α, α ∧ dα > 0 존재
ψ ≃ φ, ψ 불변 α ≠ 0, dα = 0 존재
ψ ≃ φ, ψ 불변 접촉 형태 α, α ∧ dα < 0 존재
기타

표 설명: 각 열은 동등한 문을 나타냅니다. 각 행은 서로 다른 관점에 해당합니다.
결과 B
표 1의 주어진 열에서 두 셀은 서로 동치입니다. 열은 아노소프 흐름의 배타적인 특성에 해당합니다.
사분법
표 1에서 방향이 있는 닫힌 3차원 다양체에서 아노소프 흐름에 대한 사분법을 제시합니다. 양의 방향과 음의 방향으로 왜곡된 흐름, 평평한 흐름, 기타 흐름입니다. 각 열에는 네 가지 동등한 속성이 포함되어 있습니다. 1행은 왜곡된 경우 3차원 다양체의 방향을 고려하도록 업그레이드된 Fenley-Barbot의 궤도 공간 분류에 해당합니다. 2행은 특정 Birkhoff 섹션의 존재에 해당합니다. 3행은 특정 널 동족 불변 확률 측정의 존재에 해당합니다. 4행은 특정 불변 미분 1형식을 허용하는 궤도 동치 아노소프 흐름의 존재에 해당합니다.
새로운 의미는 부록 A의 끝부분에서 Barbot의 정리 중 하나에 대한 대안적 증명과 함께 증명됩니다(아래 참조).
1열과 3열에서 주변 다양체는 방향이 있습니다. 방향을 반대로 하면 이 두 열의 역할이 바뀝니다. 이제 기존 동치 관계에 대해 설명합니다. 사분법은 Barbot과 Fenley가 동시에 처음 발견했습니다. 1행과 2행의 동치 관계는 [ABM22, 정리 A]에서 증명되었습니다.
첫 번째 열의 경우 Barbot은 4번째 셀이 1번째 셀을 의미한다는 것을 증명했습니다. Barbot은 α ∧ dα에 대한 부호를 명시하지 않았지만 복구할 수 있습니다. 부록 A에서 부호와 함께 이 의미에 대한 두 번째 증명을 제시합니다. 이 기사의 주요 정리는 그 반대의 의미, 즉 1번째 셀이 4번째 셀을 의미한다는 것입니다. 또한 그 자체로 흥미로운 3번째 행을 소개합니다. 2번째 셀과 3번째 셀의 동치 관계는 더 기본적이며 Ghys의 연구 정신에 따릅니다.
두 번째 열의 경우 Solodov는 셀 1과 셀 2의 동치 관계를 증명했습니다. 2번째 셀과 3번째 셀의 동치 관계는 횡단면에 대한 Schwartzman-Sullivan의 정리에서 비롯됩니다. 2번째 셀과 4번째 셀의 동치 관계는 잘 알려져 있으며 더 기본적입니다.
주요 정리의 중요한 결과 중 하나는 Barthelm´e와 Bowden이 전달했습니다. 그들은 Mann과 함께 주어진 3차원 다양체에서 궤도 동치까지 유한하게 많은 립-아노소프 흐름만 존재한다는 것을 증명했습니다.
결과 C
주어진 닫힌 3차원 다양체에서 궤도 동치까지 유한하게 많은 R-덮개 아노소프 흐름만 존재합니다.
정리 A를 증명하기 위해 대략 다음 단계를 따릅니다. R-덮개 아노소프 흐름에서 시작하여 접촉 형태 α에 대한 α ∧ dα에 해당하는 부드러운 부피 형태 V를 유지하는 궤도 동치 아노소프 흐름을 찾아야 합니다. 전이적 여차원 1 아노소프 흐름(3차원에서 R-덮개 아노소프 흐름의 경우)이 주어지면 Asaoka는 추가로 부피를 유지하는 궤도 동치 아노소프 흐름을 구성했습니다. Asaoka는 불변 부피 형태와 유사한 일부 동적 속성을 충족하는 중요한 불변 확률 측정 군인 Gibbs 측정의 개념을 중요하게 사용합니다. Gibbs 측정이 주어지면 Asaoka는 주변 다양체에 새로운 C1+H 미분 구조를 구축합니다. 이 구조의 경우 Gibbs 측정은 H¨older 연속 부피 형태에 의해 유도됩니다. 그런 다음 그는 각각 부드러운 부피 형태를 유지하면서 새로운 미분 구조에 대해 부드러운 아노소프 흐름으로 흐름을 근사화합니다.
일반적으로 아노소프 흐름의 경우 부드러운 부피 형태를 유지하는 것만으로는 립-아노소프 흐름의 재매개변수화가 되기에 충분하지 않습니다. 호몰로지와 연결 수의 관점에서 표현하는 두 가지 추가 조건이 필요합니다. φ 불변 부호 측정 µ에는 1.4절에서 정의하는 Schwartzman 점근 순환이라고 하는 호몰로지 클래스 [µ]φ ∈ H1(M, R)이 해당합니다. Ms(φ)를 φ 불변 부호 측정 집합으로, M0s(φ)를 널 동족 φ 불변 부호 측정 집합으로 나타냅니다.
정리 D(정리 15에서 자세히 설명)
3차원에서 전이적 아노소프 흐름 φ가 있다고 가정합니다. 두 개의 분리된 널 동족 매듭에 대한 연결 수를 확장하는 고유한 연속 쌍선형 맵 linkφ : M0s(φ) × M0s(φ) → R이 존재합니다.
Ghys는 방향이 있는 3차원 다양체의 모든 흐름에 대한 불변 측정 간의 연결 수를 정의하는 전략을 제안했지만, 그의 전략은 명시적으로 개발되지 않았습니다. 어려운 부분은 균일 연속성 문을 증명하는 것입니다. 이 문을 통해 연결 수를 조밀한 부분 집합에서 모든 불변 측정으로 확장할 수 있습니다. 1.5절에서 연결 수에 필요한 속성을 설명합니다. (아노소프 흐름에 대한) 증명은 기술적이며 5절로 연기됩니다. 연결 수를 사용하는 이유는 립 흐름을 특징짓는 McDuff의 기준 때문입니다.
정리 E(McDuff[Duf87, 정리 5.2] - Prasad [Pra22])
φ를 닫힌 방향이 있는 3차원 다양체에서 부드러운 흐름이라고 하고 X = ∂φt/∂t로 나타냅니다. 그러면 φ는 ιXV가 정확하고 V가 모든 M0p(φ)와 양의 연결 수를 갖는 부드러운 양의 부피 형태 V를 유지하는 경우에만 α ∧ dα > 0인 접촉 형태 α에 대한 립 흐름의 부드러운 재매개변수화입니다.
이전 정리에서 V(불변 측정으로 간주)와 µ ∈ M0s(φ) 간의 연결 수는 dβ = ιXV를 만족하는 1형식 β에 대해 linkφ(V, µ) = ∫M ιXβdµ와 같습니다. 1.6절에서 컨텍스트에 대한 재구성 증명을 제시합니다. Prasad의 McDuff 기준 재구성은 다음 정의에 대한 동기를 부여합니다. 부호 측정 µ ∈ Ms(φ)는 [µ]φ = 0이고 minν∈M0p(φ) link(µ, ν) > 0을 만족하면 립 유사라고 합니다. 이전 정리의 조건은 φ가 부드러운 립 유사 불변 측정(전체 지원 포함)을 유지하는 경우에만 립 흐름의 부드러운 재매개변수화라는 것입니다.
이 연구의 주요 목표는 립 유사 속성을 가진 부드러운 불변 측정을 유지하는 궤도 동치 흐름을 구축하는 것입니다. 나중에 설명하는 대로 먼저 단일 주기적 궤도 γ에서 지원되는 립 유사 측정 Lebγ를 구축합니다. 그런 다음 립 유사 Gibbs 측정으로 Lebγ를 근사화합니다. 마지막으로 Asaoka의 전략을 조정하여 Gibbs 측정을 정규화합니다. McDuff의 기준을 충족하는 부드러운 부피 형태를 유지하는 부드러운 아노소프 흐름을 얻습니다.
측정 Lebγ의 존재를 설명하는 것만 남았습니다. Fried는 전이적 아노소프 흐름에 대한 Birkhoff 섹션의 존재를 증명했습니다. 대략적으로 말해서 Birkhoff 섹션은 흐름의 궤도와 효율적으로 교차하는 주기적 궤도로 둘러싸인 횡단면입니다. Fried가 구성한 Birkhoff 섹션은 주변 다양체와 흐름의 토폴로지에 대한 정보를 거의 제공하지 않습니다. 이전 연구 [ABM22, 정리 A]에서 양의 경계를 갖는 Birkhoff 섹션의 존재를 사용하여 양의 방향으로 왜곡된 R-덮개 아노소프 흐름을 특징지었습니다. 3절에서 이 결과를 개선합니다.
정리 F
닫힌 방향이 있는 3차원 다양체에서 R-덮개이고 양의 방향으로 왜곡된 아노소프 흐름 φ가 있다고 가정합니다. 그러면 φ는 방향을 정할 수 있는 안정적이고 불안정한 잎을 가진 주기적 궤도에 해당하는 경계 구성 요소가 하나뿐인 포함된 양의 Birkhoff 섹션을 허용합니다. 특히 φ에 적합한 M의 열린 책 분해를 제공합니다.
정리에서와 같이 Birkhoff 섹션을 경계로 하는 주기적 궤도 γ를 취합니다. γ에 대한 불변 Lebesgue 측정 Lebγ는 립 유사 측정입니다. 따라서 Lebγ의 크기 조정에 위의 논의를 적용할 수 있습니다.
이 전략에서는 주변 다양체의 미분 구조를 변경하고 흐름의 매개변수화는 사용된 기술의 결과로 나타납니다. 흐름의 매개변수화가 부드러운 구조만큼 중요한 역할을 하는 것처럼 보이기 때문에 놀라운 일입니다. Barbot은 위상적으로 접촉하는 아노소프 흐름이라는 개념을 도입했습니다. 위상적으로 접촉하는 것은 연속적인 활용에서 불변이므로 주변 다양체의 부드러운 구조에 의존하지 않습니다.
질문 1
주어진 립-아노소프 흐름의 모든 위상적으로 접촉하는 매개변수화를 특성화할 수 있습니까?
같은 기법으로 얻은 두 가지 연결된 정리를 논의하면서 서론을 마무리합니다. 이 스무딩 전략은 모든 요소 H1(M, Z)가 주기적 궤도의 호몰로지 클래스인 호몰로지적으로 완전하다고 하는 아노소프 흐름에도 적용됩니다. Sharp는 아노소프 흐름이 널 동족 Gibbs 측정을 허용하는 경우에만 호몰로지적으로 완전하다는 것을 증명했습니다. Asaoka의 기법으로 Gibbs 측정을 부드럽게 하고 얻을 수 있습니다.
정리 G
닫힌 3차원 다양체 M에서 호몰로지적으로 완전한 아노소프 흐름 φ가 있다고 가정합니다. 다음을 만족하는 M에 대한 부드러운 아노소프 흐름 ψ와 부드러운 부피 형태 V가 존재합니다. ψ는 φ와 궤도 동치이고 V를 유지하며 내적 ι ∂ψt/∂t V는 널 동족입니다.
[Ghy09, CDHR22]에서 양의 연결 수 조건을 사용하여 Birkhoff 섹션을 구성합니다. 아노소프 흐름의 경우 이들의 아이디어와 연결 수 맵은 특정 경계를 경계로 하는 Birkhoff 섹션의 존재에 대한 기준을 제공합니다. 결과는 전이적 아노소프 흐름에만 국한되지 않으며 M0s(φ)에 정직한 연결 함수를 허용하는 모든 흐름 φ에 대해 유지되어야 합니다.
정리 H
φ를 닫힌 방향이 있는 3차원 다양체 M에서 전이적 아노소프 흐름이라고 가정합니다. Γ를 H1(M, Q)에서 널 동족이라고 가정한 Z에서 다중도를 갖는 주기적 궤도 모음이라고 가정합니다. 그러면 다음 문은 동일합니다.

n > 0과 경계 nΓ를 갖는 Birkhoff 섹션이 존재합니다.
Γ에서 지원되는 불변 Lebesgue 측정 LebΓ는 립 유사입니다.

널 동족 확률 측정이 없는 경우에도 정리가 성립합니다. 이 경우 두 조건은 Γ에서 독립적으로 충족됩니다. Γ가 H1(M, Z)에서 널 동족이라고 가정할 때 첫 번째 주장에서 항상 n = 1을 취할 수 있는지는 알 수 없습니다. 부록 A에서 정리를 증명합니다.

핵심 통찰 요약

Skewed Anosov flows are orbit equivalent to Reeb-Anosov flows in dimension 3

by Théo... 게시일 arxiv.org 11-01-2024

https://arxiv.org/pdf/2301.00842.pdf