完全グラフのシンプルな描画における交差しないハミルトンサイクルへのアプローチ

Belangrijkste concepten

全ての単純な描画において、任意の2つの頂点間に交差しないハミルトンパスが存在する。

Samenvatting

この記事は、完全グラフに関する単純な描画に焦点を当て、交差しないハミルトンサイクルについて探求しています。研究では、強くc-単調な描画や円筒状の描画など、さまざまなクラスでこの問題を検討しました。特に、Conjecture 1.2がConjecture 1.1を強化することが示されました。また、x-単調な描画や強くc-単調な描画では、それぞれ交差しないハミルトンパスが存在することが証明されました。

Statistieken

n ≥ 3 の場合、すべてのシンプルな描画で Conjecture 1.2 が確認された。
Manfred Scheucher氏はSATフレームワークを使用してn ≤ 10の頂点数までConjecture 1.2を確認した。

Citaten

"Every simple drawing of Kn contains a sub-drawing of size Ω(log(n)1/8) that is weakly isomorphic to either a convex straight-line drawing or a twisted drawing." - Pach, Solymosi, and Tóth [31]
"In strongly c-monotone drawings, all gap edges form a crossing-free Hamiltonian cycle." - Corollary 3.12

Belangrijkste Inzichten Gedestilleerd Uit

Towards Crossing-Free Hamiltonian Cycles in Simple Drawings of Complete Graphs

by Oswin Aichho... om arxiv.org 03-05-2024

https://arxiv.org/pdf/2303.15610.pdf

Diepere vragen

どうして一部の図面は完全に交差せず、他の図面は多くのエッジと交差する傾向があるのですか？

強くc-単調な描画や円筒状描画など特定のクラスでは、各エッジが特定領域内に収まるよう配置されており、そのため完全に交差しない傾向があります。これらのクラスでは、エッジ同士が互いに干渉することなく配置されているため、交差を避けやすくなっています。一方で、他のクラスでは複数のエッジが同じ領域を横断するよう配置されており、それによって多くの交差点が生じる可能性が高まります。