이 연구 논문은 이분 그래프의 램지 수에 대한 기존 연구를 확장하여 그래프의 대역폭을 고려한다. 저자들은 그래프의 대역폭이 램지 수에 미치는 영향을 분석하고 준선형 대역폭을 갖는 이분 그래프의 경우 램지 수가 선형 크기를 갖는다는 것을 증명한다.
논문은 먼저 램지 수와 희소 그래프에 대한 기존 연구를 요약하면서 최대 차수 및 degeneracy와 관련된 상한 및 하한을 제시한다. 저자들은 이분 그래프의 경우 dependent random choice 기법을 사용하여 더 정확한 상한을 얻을 수 있음을 강조한다.
논문의 핵심 결과는 지역적으로 시딩된 임베딩이라는 새로운 기법을 사용하여 얻어진다. 이 기법은 이분 그래프 H를 적절한 에지 밀도와 정점 수를 갖는 호스트 그래프 Γ에 임베딩하는 데 사용된다. 임베딩 프로세스는 두 단계로 구성된다.
저자들은 임베딩 알고리즘을 자세히 설명하고 그 정확성을 엄격하게 증명한다. 또한 이론적 결과를 설명하기 위해 준선형 대역폭과 선형 크기 램지 수를 갖는 두 가지 자연스러운 이분 그래프를 제시한다.
결론적으로 이 논문은 이분 그래프의 램지 수에 대한 우리의 이해에 상당한 기여를 한다. 지역적으로 시딩된 임베딩이라는 새로운 기법을 도입함으로써 저자들은 그래프의 대역폭과 램지 수 사이의 관계를 명확히 밝혀냈다. 이 연구 결과는 희소 그래프의 램지 수에 대한 추가 연구를 위한 새로운 길을 열어준다.
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by Dylan J. Alt... om arxiv.org 10-25-2024
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