Belangrijkste concepten
Wir präsentieren einen ETH-optimalen parametrisierten Algorithmus für das Zyklenpackungsproblem auf Einheitskreisgraphen, der in 2O(√k)nO(1) Zeit läuft, wobei k die Anzahl der disjunkten Zyklen ist.
Samenvatting
Der Artikel befasst sich mit dem Zyklenpackungsproblem auf Einheitskreisgraphen. Das Problem ist wie folgt definiert: Gegeben ist ein Einheitskreisgraph G mit n Knoten und eine ganze Zahl k, das Ziel ist es, eine Menge von k knotendisjunkten Zyklen in G zu finden, falls eine solche existiert.
Der Hauptbeitrag des Artikels ist ein ETH-optimaler parametrisierter Algorithmus für dieses Problem, der in 2O(√k)nO(1) Zeit läuft. Dies verbessert den bisherigen Algorithmus von Fomin et al., der 2O(√k log k)nO(1) Zeit benötigte. Darüber hinaus zeigen die Autoren, dass ihr Algorithmus optimal ist unter der Annahme der exponentiellen Zeitannahme (ETH).
Der Algorithmus basiert auf zwei Schlüsselideen:
Einführung einer neuen rekursiven Zerlegung der Ebene in Regionen mit O(1) Randkomponenten, so dass die Kanten von G, die den Rand jeder Region kreuzen, eine kleine Anzahl von Cliquen bilden.
Eine tiefe Analyse der Schnittgraphen der Zyklen, um die Anzahl der möglichen Paarungen der Endpunkte der Pfade, die den Rand einer Region kreuzen, zu beschränken.
Diese Techniken können auch für andere Probleme auf Einheitskreisgraphen wie das nicht-parametrisierte Ungerade-Zyklenpackungsproblem und parametrisierte Versionen des d-Zyklenpackungs- und 2-beschränkten Grad-Löschproblems verwendet werden.
Statistieken
Die Laufzeit des Algorithmus beträgt 2O(√k)nO(1), wobei k die Anzahl der disjunkten Zyklen ist.