在沒有人類演示的情況下證明奧林匹克代數不等式

Belangrijkste concepten

本文提出了一種名為 AIPS 的代數不等式證明系統，該系統無需人類演示即可自動生成和解決奧林匹克級別的代數不等式問題。

Samenvatting

AIPS：一種無需人類演示即可證明奧林匹克代數不等式的系統

解決奧林匹克級別的數學問題代表了機器智能和自動推理的重大進步。然而，由於缺乏大規模、高質量的數據集，目前的機器學習方法難以解決歐幾里得平面幾何以外的奧林匹克級別問題。在代數系統中，挑戰甚至更大，因為代數系統涉及有限條件下的無限推理空間。為了應對這些問題，我們提出了 AIPS，這是一個代數不等式證明系統，能夠在不需要人類演示的情況下自動生成複雜的不等式定理並有效地解決奧林匹克級別的不等式問題。在以混合推理方式進行證明搜索期間，對生成的數據集實施了基於值的課程學習策略，以提高證明性能，展現出強大的數學直覺。在包含 20 個國際數學奧林匹克級別不等式問題的測試集中，AIPS 成功解決了 10 個，優於最先進的方法。此外，AIPS 無需人工干預即可自動生成大量非平凡定理，其中一些定理已由專業參賽者評估，並認為已達到國際數學奧林匹克的水平。值得注意的是，其中一個定理被選為某個主要城市 2024 年數學奧林匹克競賽的競賽題目。所有材料均可在 sites.google.com/view/aips2 上獲取。

人工智能領域的一個重要里程碑是推理能力 (Pearl 1998) 和證明定理的能力 (Wu 1978; Chou et al. 2000; Trinh et al. 2024)。然而，定理證明通常涉及長推理鏈、複雜的數學結構、複雜的計算和無限的推理空間。因此，開發能夠證明複雜數學定理的人工智能需要複雜的推理能力和在廣泛的搜索空間中導航以構建有效證明的能力。這些問題的複雜性在於需要有效的啟發式方法和策略來管理大量可能的動作以及得出解決方案所需的邏輯步驟的冗長序列。
現有關於小學和大學入學數學問題的研究取得了顯著成果，例如 GSM8K (Cobbe et al. 2021) 和 SAT Math (Achiam et al. 2023)，它們在算術和基本代數等任務上表現出更好的性能。然而，專注於解決國際數學奧林匹克 (IMO) 級別問題的研究仍然相對稀少。該領域的顯著成果包括 AlphaGeometry (Trinh et al. 2024) 和 GPT-f (Polu and Sutskever 2020) 在 miniF2F (Zheng et al. 2021) 上的工作，它們分別在解決奧林匹克級別的歐幾里得平面幾何和各種數學競賽問題方面取得了進展。
基於學習的方法在該領域面臨的一個重大挑戰是缺乏合適的數據集，這限制了有效訓練模型的能力，並阻礙了在這些高難度問題上實現人類水平性能的進展。miniF2F 數據集 (Zheng et al. 2021) 僅包含來自各種競賽的 244 個驗證和 244 個測試數學問題。AlphaGeometry (Trinh et al. 2024) 通過綜合數百萬個不同複雜程度的定理和證明來解決這個問題，以從頭開始訓練神經語言模型。類似地，不等式定理證明基準 INT (Wu et al. 2020) 可以在代數等式和不等式領域合成理論上無限多的定理和證明。然而，INT 專注於測試學習輔助定理證明代理的泛化能力，而不是增加到競賽級別的難度。
自動定理證明中的另一個重大挑戰是設計有效的搜索策略以在廣闊的可能證明空間中導航。最近的進展突出了各種增強搜索效率和證明成功率的方法。一些研究表明，在測試時結合蒙特卡洛樹搜索 (MCTS) 可以顯著幫助證明新定理 (Wu et al. 2020)。受 AlphaZero (Zhang and Yu 2020) 成功的啟發，其他研究探索了超樹證明搜索 (HTPS) (Lample et al. 2022)，它通過在線訓練從先前的證明搜索中學習，通過學習哪些路徑更有可能導致成功的證明來迭代地改進其策略。另一種創新方法是從需要證明的根目標開始證明搜索 (Polu and Sutskever 2020)，通過根據累積對數概率對開放目標進行優先排序來擴展維護的證明樹。
在這項工作中，我們介紹了 AIPS，這是一個代數不等式證明系統，它可以生成大量高質量的定理並解決 IMO 級別的代數問題。AIPS 專注於三元和四元不等式，不包括在形式驗證系統中遞歸表示的 n 元不等式。在生成的定理中，有些已被證明非常具有挑戰性，其中一個被選為某個主要城市 2024 年數學奧林匹克競賽的競賽題目。我們在附錄中介紹了由 AIPS 發現的新穎且具有挑戰性的不等式定理，這些定理已由 IMO 級別的專業參賽者仔細評估，並發現與 2000 年左右的 IMO 不等式相當。
此外，AIPS 還結合了一個值網絡來評估新生成的不等式，根據值網絡提供的最高分選擇子目標候選者。值網絡在以課程方式增加難度的合成數據集上進行訓練。在我們的實驗中，AIPS 證明了高達 IMO 級別的困難定理，並在 IMO 級別不等式測試的 20 個問題中解決了 10 個，顯著超過了先前基於大型語言模型的定理證明器的性能 (Polu and Sutskever 2020; Polu et al. 2022; Yang et al. 2024; Song et al. 2024)。
本文的主要貢獻總結如下：

我們提出了一個符號演繹引擎，能夠有效地生成高質量和解決高難度的代數不等式定理。該引擎解決了該領域缺乏大規模、高質量數據的瓶頸。
我們證明了符號代數不等式證明器可以在值網絡的指導下得到顯著增強，尤其是在值網絡以課程方式訓練時。
我們的 AIPS 可以生成具有挑戰性和優雅的不等式定理，其中一個被選為某個主要城市 2024 年數學奧林匹克競賽的競賽題目。AIPS 證明了 20 個 IMO 級別不等式中的 10 個，超過了最先進的方法，並產生了高度人類可讀的證明。

Belangrijkste Inzichten Gedestilleerd Uit

Proving Olympiad Algebraic Inequalities without Human Demonstrations

by Chenrui Wei,... om arxiv.org 11-01-2024

https://arxiv.org/pdf/2406.14219.pdf

Diepere vragen

AIPS 如何應用於其他類型的數學問題，例如幾何或數論？

AIPS 的核心是符號演繹引擎和價值網路，這個架構具備一定的可遷移性，可以應用於其他類型的數學問題，但需要克服一些挑戰：
1. 符號表示和演繹規則： AIPS 需要針對不同类型的数学问题设计相应的符号表示和演绎规则。例如，几何问题需要用点、线、面的关系来表示，并使用几何定理进行推理；数论问题则需要使用整数、素数、模运算等概念和定理。

几何问题： 可以借鉴 AlphaGeometry 的方法，将几何图形表示为符号化的关系，并使用几何定理库进行推理。
数论问题： 需要建立整数、素数、模运算等概念的符号表示，并收集整理数论相关的定理和推论，构建数论领域的演绎规则库。
2. 价值网络的训练： 价值网络需要针对不同领域的先验知识进行训练。

可以利用现有的大规模数学题库和证明库，例如 GeoGebra、CoqGym 等，对价值网络进行预训练。
可以设计针对特定领域的启发式函数，例如几何问题中的面积、角度关系，数论问题中的整除性、同余关系等，用于指导价值网络的训练。
3. 问题复杂度： AIPS 目前主要解决的是有限步骤内的推理问题，对于需要无限推理或复杂归纳的数学问题，例如拓扑学、分析学等，还需要进一步探索。
总而言之，AIPS 为解决其他类型的数学问题提供了一个可行的框架，但需要针对具体问题进行调整和优化。

AIPS 是否有潛力取代人類數學家在定理證明方面的作用？

AIPS 的出现展现了人工智能在自动定理证明领域的巨大潜力，但现阶段 AIPS 想要完全取代人类数学家还为时尚早。
AIPS 的优势：

高效性： AIPS 可以快速搜索庞大的解空间，并高效地进行符号演算，在处理一些复杂的代数运算时比人类更加高效。
规模化： AIPS 可以利用大规模数据集进行训练，并自动生成新的定理，这对于拓展数学知识库具有重要意义。
AIPS 的局限性：

创造性： AIPS 的推理过程仍然依赖于预先定义的定理和规则，缺乏人类数学家所具备的直觉、灵感和创造性思维，难以提出全新的数学概念或发现突破性的证明方法。
泛化能力： AIPS 目前只能解决特定类型的数学问题，对于未接触过的领域或问题类型，其泛化能力还有待提高。
理解能力： AIPS 缺乏对数学对象的深层理解，无法像人类数学家那样从几何直观、物理意义等角度理解和解决问题。
结论：
AIPS 更有可能成为人类数学家的强大工具，而非取代人类。未来，AIPS 可以帮助数学家处理繁琐的计算、验证复杂的证明过程、探索新的定理，从而将人类数学家解放出来，专注于更具创造性和挑战性的数学问题。

AIPS 的發展對數學教育和研究有何影響？

AIPS 的发展对数学教育和研究都将产生深远的影响：
对数学教育的影响：

个性化学习： AIPS 可以根据学生的学习进度和水平，提供个性化的练习题和解题指导，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
激发学习兴趣： AIPS 可以将抽象的数学概念转化为可视化的图形和互动式的证明过程，提高学生的学习兴趣和参与度。
培养问题解决能力： AIPS 可以引导学生进行逻辑推理和演绎证明，培养学生的批判性思维和问题解决能力。
对数学研究的影响：

加速定理发现： AIPS 可以自动生成新的定理和猜想，为数学家提供新的研究方向和思路。
验证证明过程： AIPS 可以帮助数学家验证复杂定理的证明过程，避免人为错误。
拓展研究领域： AIPS 可以应用于不同数学分支，促进跨领域研究和合作。
挑战和展望：

伦理问题： AIPS 的应用需要关注伦理问题，例如如何避免学生过度依赖 AIPS，如何确保 AIPS 生成的定理和证明的正确性等。
教育模式变革： AIPS 的普及需要对现有的数学教育模式进行改革，例如课程设置、教学方法、评价体系等都需要做出相应的调整。
总而言之，AIPS 的发展将为数学教育和研究带来新的机遇和挑战。我们应该积极探索 AIPS 的应用，并做好相应的准备，以迎接人工智能时代数学教育和研究的变革。