Ein effizientes blockweises α-zirkulantes vorkonditioniertes MINRES-Verfahren für Wellengleichungen

Belangrijkste concepten

In dieser Arbeit wird ein absoluter Wert blockweises α-zirkulantes Vorkonditionierungsverfahren für die Minimal-Residuen (MINRES)-Methode vorgeschlagen, um ein Gesamtsystem zu lösen, das aus der Diskretisierung von Wellengleichungen resultiert. Das vorgeschlagene Vorkonditionierungsverfahren ist hermitesch positiv definit und ermöglicht eine lineare Konvergenzrate des MINRES-Lösers, die unabhängig von der Matrixgröße ist.

Samenvatting

Die Arbeit befasst sich mit der effizienten Lösung von Wellengleichungen mithilfe eines vorkonditionierten MINRES-Verfahrens.

Zunächst wird das diskretisierte Gesamtsystem der Wellengleichung hergeleitet, das in Form einer großen, dünnbesetzten Blocktoeplitz-Matrix dargestellt werden kann. Um dieses System effizient zu lösen, wird ein neues absolutes Wert blockweises α-zirkulantes Vorkonditionierungsverfahren vorgeschlagen.

Das Hauptergebnis ist, dass dieses Vorkonditionierungsverfahren eine lineare Konvergenzrate des MINRES-Lösers ermöglicht, die unabhängig von der Matrixgröße ist. Dies wird theoretisch bewiesen und durch numerische Experimente unterstützt.

Insbesondere zeigt sich, dass das vorgeschlagene Vorkonditionierungsverfahren eine Verbesserung gegenüber dem bekannten absoluten Wert blockweisen zirkulanten Vorkonditionierer darstellt, wenn es um die Lösung von Wellengleichungen geht.

Statistieken

Die Diskretisierung der Wellengleichung führt zu einem linearen System der Form Tx = f, wobei T eine mn × mn Blocktoeplitz-Matrix ist.
Die Eigenwerte von T liegen im Intervall (1, +∞).
Die Eigenwerte der symmetrisierten Matrix YT liegen im Intervall [-1, 1].

Citaten

"Unser vorgeschlagenes Vorkonditionierungsverfahren ist das erste hermitesch positiv definite Verfahren auf Basis von blockweisen α-zirkulanten Matrizen für das betrachtete Wellengleichungsproblem, das eine Lücke zwischen blockweiser α-zirkulanter Vorkonditionierung und dem Bereich der vorkonditionierten MINRES-Löser schließt."
"Wir betonen, dass die Konstruktion unseres vorgeschlagenen Vorkonditionierers, die die Verwendung der Matrixwurzel auf α-zirkulanten Matrizen beinhaltet, in der einschlägigen Literatur selten zu sehen ist."

Belangrijkste Inzichten Gedestilleerd Uit

A block $α$-circulant based preconditioned MINRES method for wave equations

by Xue-lei Lin,... om arxiv.org 04-10-2024

https://arxiv.org/pdf/2306.03574.pdf

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