Grunnleggende konsepter
Riesz 커널을 가진 최대 평균 차이 함수의 Wasserstein 구배 흐름은 특이 측도가 절대 연속 측도로 변하거나 그 반대로 변하는 등 풍부한 구조를 보인다. 이 논문에서는 이러한 흐름을 이해하기 위한 방법을 제안한다. 신경망을 이용하여 Jordan-Kinderlehrer-Otto 방식의 후방 스킴과 Wasserstein 최급강하 흐름의 전방 스킴을 근사하는 방법을 제안한다. 절대 연속 측도에 국한되지 않고 수송 계획과 속도 계획을 다루어야 하므로, 이를 위해 생성 신경망을 이용하여 이들을 근사한다. 상호 작용 에너지에 대한 분석적 공식을 제공하고, 시간 간격이 0으로 수렴할 때 수렴성을 보인다. 마지막으로 수치 예제를 통해 제안한 신경망 MMD 흐름을 보여준다.
Sammendrag
이 논문은 Riesz 커널을 가진 최대 평균 차이(MMD) 함수의 Wasserstein 구배 흐름을 다룬다.
- 서론:
- Wasserstein 구배 흐름은 생성 모델링에서 주목받고 있다.
- 대부분의 연구는 절대 연속 측도에 국한되어 있다.
- 이 논문에서는 특이 측도에 대해서도 다룰 수 있는 방법을 제안한다.
- Wasserstein 흐름:
- Wasserstein 구배 흐름과 Wasserstein 최급강하 흐름을 정의한다.
- 이들은 일반적으로 다르지만, 특정 조건 하에서 일치한다.
- 신경망 후방 스킴:
- Jordan-Kinderlehrer-Otto(JKO) 스킴을 신경망으로 근사한다.
- 수송 계획을 생성 신경망으로 근사하여 절대 연속 측도에 국한되지 않는다.
- 신경망 전방 스킴:
- Wasserstein 최급강하 흐름을 Euler 전방 스킴으로 근사한다.
- 속도 계획을 생성 신경망으로 근사한다.
- 상호 작용 에너지 흐름에 대한 분석:
- Dirac 측도에서 시작하는 상호 작용 에너지 흐름에 대한 분석적 공식을 제공한다.
- 시간 간격이 0으로 수렴할 때 수렴성을 보인다.
- 수치 예제:
- 상호 작용 에너지 흐름에 대해 제안한 방법들을 비교한다.
- MMD 흐름에 대한 예제를 보여준다.
Statistikk
상호 작용 에너지 EK(η) = 1/2 ∫∫ K(x, y) dη(x) dη(y)
Wasserstein 구배 흐름 vt ∈ -∂F(γ(t))
Wasserstein 최급강하 흐름 ˙γ(t) ∈ ∇-F(γ(t))
Sitater
"Wasserstein gradient flows of maximum mean dis-
crepancy (MMD) functionals with non-smooth
Riesz kernels show a rich structure as singular
measures can become absolutely continuous ones
and conversely."
"Since we cannot re-
strict ourselves to absolutely continuous measures,
we have to deal with transport plans and velocity
plans instead of usual transport maps and velocity
fields."