本論文では、左順序可能群の共役関係の Borel 複雑性について分析しています。
主な結果は以下の通りです:
全ての n≥2 について、BS(1, n) の共役関係 Elo(BS(1, n)) は非滑らかである。さらに、BS(1, 2) の共役関係は超有限であることが示されました。これは有限生成左順序可能群の初めての例となります。
Thompson の群 F の共役関係 Elo(F) も非滑らかであることが示されました。
この分析の中心となるのは、「凝縮された左順序」の概念です。凝縮された左順序は、その共役体によって近似できるような左順序です。凝縮された左順序の存在は、共役関係の非滑らかさと同値であることが分かりました。また、凝縮された左順序は、左順序の自由部分を分析することで検出できることも示されています。
この手法を用いることで、相対的に凸な部分群を持つ群や、孤立点を持つ群の共役関係の非滑らかさを示すことができます。
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